wie müssen a, b gewählt werden damit Gerade und Ebene genau einen Schnittpunkt haben

Question

ich habe eine Aufgabe wo ich nicht weiter komme...

Ich habe eine Ebenen Gleichung : -2x₁ + x₂ + 3x₃ = 4

und eine Gleichung einer Gerade :

         x             2           a

G : (  x   ) =  (  5 )  + λ( 0 )

         x             1           b

--> Wie muss ich a,b ∈ ℝ wählen, damit G und E genau einen Schnittpunkt haben?  bestimmen sie diesen Schnittpunkt.

Also ich weiß wie ich den den Schnittpunkt ausrechne, wenn kein a, b in der Gleichung ist, kann mir wer helfen und sagen wie ich nun die AUfgabe löse.

Danke für eure Hilfe :)

Answer 1

Hallo

Man sieht (oder rechnet aus, dass der Aufpunkt der Geraden in der Ebene liegt (einfach in die Ebenengl. einsetzen) damit kennt man den Schnittpunkt schon.

jetzt darf nur der Richtungsvektor der Geraden nicht in der Ebene liegen, also nicht senkrecht zur Normalen der Ebene liegen. (es gibt daher viele Möglichkeiten für a und b, du kannst sie allgemein aufschreiben oder ein spezielle a,b nehmen,

Gruß lul

Comments

danke für die Antwort, aber ich verstehe das :

"jetzt darf nur der Richtungsvektor der Geraden nicht in der Ebene liegen, also nicht senkrecht zur Normalen der Ebene liegen. (es gibt daher viele Möglichkeiten für a und b, du kannst sie allgemein aufschreiben oder ein spezielle a,b nehmen,"

nicht so richtig, kannst du mir das evtl nochmal genauer erklären

Answer 2

Hallo balle,

aber ich verstehe das :"jetzt darf nur der Richtungsvektor der Geraden nicht in der Ebene liegen... nicht

Wenn der Richtungsvektor [a, 0, b] der Geraden senkrecht zum Normalenvektor [-2, 1, 3] der Ebene steht, liegt die ganze Gerade in der Ebene (weil man ja schon den gemeinsamen Punkt (2|5|1) kennt.

Wenn es also nur diesen einen gemeinsamen Punkt geben soll, muss wegen

      [a, 0, b]  ⊥  [-2, 1, 3]  ⇔   [a, 0, b] · [-2, 1, 3]  =  0  

[a, 0, b] · [-2, 1, 3]  ≠  0  gelten     

⇔   - 2·a + 3b ≠ 0  ⇔  b ≠ 2a/3   

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang,

okay, danke ich habe noch schwierigkeiten beim Schnittpunkt

ich habe jetzt das gerechnet, komme aber nicht weiter:

E: -2*(2+λ*a) + ( 5 + λ*0) +3*(1+λ*b) -4 = 0

   -4 -2*λ*a + 5 + 3 + 3*λ*b = 0

   -2*λ*a + 3*λ*b = 0

Was muss ich jetzt rechnen , kann mir da jemand helfen?

---

wenn du λ ausklammerst, ergibt sich

λ(-2a+3b) = 0

Also ist

λ = 0 oder -2a + 3b = 0

λ = 0 in die Geradengleichung eingesetzt ergibt als Schnittpunkt (2|5|1)

---

Wenn du die Koordinaten des  Stützvektors [2,5,1]  der Geraden in die Ebenengleichung einsetzt, siehst du sofort, dass der Punkt (2|5|1) auch auf der Ebene liegt.