Schnittpunkt von Gerade/Ebene

Question

Aufgabe:

gegeben sind:

Gerade g: Vektor x=Vektor(2;4;2)+r×Vektor(0;2;1)

Ebene E:x+2y+3z=9

Nach der Lageuntersuchung(g in Koordinatenform umwandeln und in E einsetzen um r herauszufinden) bekommt man für den Wert r=-1 als Ergebnis.

Um den Schnittpunkt zu berechnen (von g und E) muss man bei g für r=-1 einsetzen. Der Schnittpunkt lautet dann S(2|2|1).

Problem/Ansatz:

… Was bedeutet r und wieso kommt man mit r=-1 auf den Schnittpunkt von Gerade und Ebene?

Vielen Dank im Voraus

Answer 1

g: X = [2, 4, 2] + r·[0, 2, 1] = [2, 2·r + 4, r + 2]

r ist ein Parameter und für jedes R ergibt sich ein Punkt der Geraden g.

Nun wird g in E eingesetzt und nach r aufgelöst

E: x + 2·y + 3·z = 9

(2) + 2·(2·r + 4) + 3·(r + 2) = 9 --> r = -1

für r = -1 ergibt sich jetzt also derjenige Punkt der Geraden, der auch gleichzeitig in der Ebene liegt.

S = [2, 4, 2] - 1·[0, 2, 1] = [2, 2, 1]

Der Punkt S(2, 2, 1) ist also der Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene.