Differentialgleichunbg mithilfe Fourier-Transformation im Distributionensinne lösen

Question

Aufgabe:

Gesucht ist eine stetige Funktion die im Distributionensinne $$ g''(x) - g(x) = -\delta(x) $$

erfüllt und im Unendlichen abfällt.

Wende Die Fouriertransformation auf die Gleichung an , finde $$ \hat{g}$$ und bestimme g durch inverse Fouriertransformation.
Problem/Ansatz:

Ich verstehe überhaupt nicht wie ich das Beispiel angehen könnte, mir würde ein ähnliches sehr helfen, finde dazu aber nichts und weiß nicht was ich fouriertransformieren muss, muss ich $$ - \delta(x) $$ transformieren? Wenn ja wie geht das !

Answer 1

Fouriertransformation auf beiden Seiten der Dgl. anwenden ergibt

$$ \mathcal{F}(g''(x)) - \mathcal{F}(g(x)) = -\mathcal{F}(\delta(x)) $$ also

$$ (i\omega)^2G(\omega)- G(\omega) = -k \cdot 1 $$ \( k \) hängt davon ab, wie Ihr die Fouriertransformation eingeführt habt.

Also $$ G(\omega)  = \frac{k}{1+\omega^2} $$

Rücktransformation ergibt

$$ g(x) = \frac{1}{2} e^{-|t|} $$