Seien \mathbb{K} ein beliebiger Körper, V ein endlichdimensionaler \mathbb{K} -Vektorraum

Question

Aufgabe: Seien \( \mathbb{K} \) ein beliebiger Körper, \( V \) ein endlichdimensionaler \( \mathbb{K} \)-Vektorraum, \( \varphi \in \operatorname{Bil}_{\mathbb{K}}^{\text {sym }}(V) \) und \( v \in V \) mit \( \varphi(v, v) \neq 0 \)
1. Man zeige, dass \(V=\operatorname{Span}_{\mathbb{K}}(v) \oplus v^{\perp},\) wobei \( v^{\perp}:=\{w \in V \mid \varphi(v, w)=0\} \).
2. Kann man auf die Voraussetzung " \( \varphi(v, v) \neq 0 \) "verzichten?
3. Kann man auf die Voraussetzung " \( V \) ist endlichdimensional "verzichten?
Für die unverzichtbaren Voraussetzungen gebe man entsprechende Gegenbeispiele an.

Problem/Ansatz:

Leider habe ich keinen wirklichen Ansatz zur Lösung dieser Aufgabe. Kann jemand weiterhelfen? :)

Answer 1

1. Wenn man sich von dem Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren anregen lässt,

kommt man zu folgendem Ansatz.

Du kannst leicht zeigen, dass für ein \(w\in V\) der Vektor

\(v':=w-\frac{\varphi(v,w)}{\varphi(v,v)}v\) orthogonal zu \(v\) ist.

Damit ist \(w=\frac{\varphi(v,w)}{\varphi(v,v)}v + v' \in Span(v)+v^{\perp}\).

Nun musst du noch zeigen, dass diese Summe direkt ist, dass also

\(Span(v)\cap v^{\perp}=\{0\}\) ist ...

Zu 2.:

wenn \(\varphi(v,v)=0\) ist, dann folgt \(Span(v)\subseteq v^{\perp}\).

Die Summe kann also dann nicht direkt sein.