Question

Ordne der Größe nach:

log₂ 3

\frac{4}{3}

log₃ 2

Answer 1

Nenne die mit x,y und z

\(   x =log_{2} (3)  \)

\(  y= \frac{4}{3}   \) 

\(   z=log_{3} (2)  \)

Dann muss ja gelten 2^x =3 also x>1. Und 3^z=2 also z<1.

Jetzt noch x mit y vergleichen. Betrachte dazu

\(  2^{ \frac{4}{3}} = 2^{1+\frac{1}{3}} = 2 \cdot  2^{\frac{1}{3}} \)

Das ist kleiner als 3, weil die 3. Wurzel aus 2 sicher kleiner als 1,5 ist;

1,5 hoch 3 ist ja 3,375. Also y<x.

Und wegen z<1 und y>1 gilt

z < y < x .

Answer 2

Es gilt \(log_ab=\frac{1}{log_ba}\).

Damit ist einer deiner beiden Logarithmen kleiner als 1.

Welcher ist das?

Answer 3

log3(2) = ln(2) / ln(3) < 0 → das muss sicher der kleinste wert sein

4/3 = 1.333

log2(3) also das x in 2^x = 3 Setzen wir also für x mal 4/3 ein

2^(4/3) = ³√16 < 3 damit ist log2(3) > 4/3 und damit ist die Reihenfolge

log3(2) < 4/3 < log2(3)