Ich meinte das so: Sei x irgendein Vektor aus R^n, also
\( v = \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\ \cdots \\ x_n \end{pmatrix} \)
Und v hat mit allen Vektoren aus R^n das Skalarprodukt 0,
also insbesondere auch mit \( e_1 = \begin{pmatrix} 1\\0\\ \cdots \\ 0 \end{pmatrix} \)
Dann folgt bei eurer Schreibweise des Skalarproduktes
[v,e1] = \( x_1 \cdot 1 + x_2 \cdot 0 + \cdots + x_n \cdot 0 = 0 \)
also kurz \( x_1 = 0 \)
Entsprechend für die anderen Komponenten, also ist x der 0-Vektor.
Wenn umgekehrt bekannt ist: v ist der Nullvektor und x irgendeiner.
etwa \( x = \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\ \cdots \\ x_n \end{pmatrix} \)
Dann ist das Skalarprodukt
[v,x] = \( x_1 \cdot 0 + x_2 \cdot 0 + \cdots + x_n \cdot 0 = 0 \)
q.e.d.