Einsetzungshomomorphismus, Polynom angeben

Question

Aufgabe:

(2) Geben Sie ein Polynom \( f \in \mathbb{F}_{5}[X] \backslash\{0\} \) an, sodaß das Bild \( f(x) \) unter dem Einsetzungshomomorphismus \( \mathbb{F}_{5}[X] \rightarrow \mathbb{F}_{5}, X \mapsto x \), für alle \( x \in \mathbb{F}_{5} \) gleich 0 ist.
(3) Zeigen Sie: Sei \( p \) eine Primzahl und \( f \in \mathbb{F}_{p}[X] \backslash\{0\} \) ein Polynom, sodaß das Bild \( f(x) \) unter den entsprechenden Einsetzungshomomorphismen für alle \( x \in \mathbb{F}_{p} \) gleich 0 ist. Dann gilt \( \operatorname{grad}(f) \geq p \).

Hallo, kann mir jemand einen Ansatz für die beiden Aufgaben geben? Danke für eure Hilfe!

Answer 1

Mach dir mal ne Tabelle mit den Potenzen

von x. Dann siehst du, dass bei x und x^5

immer die gleichen Ergebnisse sind.

Also ist x^5 - x so ein Polynom.

Comments

Verstehe nicht so ganz, wie bei x und x^5 die gleichen Ergebnisse kommen sollen. Hast du eventuell ein Beispiel?

---

Rechne einfach nach

         x                x^5
         0                   0
         1                   1

         2                   32=2 mod 5

         3                   243=3 mod 5

         4                  1024=4 mod 5