Wenn ich beim inneren Integral die Variable y festhalte und nach x integriere,wie sieht dann die Stammfunktion des …

Question

Aufgabe: Mehrdimensionales Integral berechnen

Problem/Ansatz: Wenn ich beim inneren Integral die Variable y festhalte und nach x integriere,wie sieht dann die Stammfunktion des inneren Integrals aus ?

\( I:=\int \limits_{[0,1]^{2}} \sin ^{2}(x+y) \mathrm{d}(x, y) . \)

Answer 1

Du kannst aus sin^2 ja sin*sin machen und partielle

Integration anwenden. Gibt letztendlich nach der Int. nach x

x/2  - sin(x+y)cos(x+y)/2

Answer 2

Aloha :)

Mit \(\left(\sin^2\alpha=\frac12-\frac12\cos(2\alpha)\right)\) kannst du das Integral direkt ausrechnen:$$I=\int\limits_{y=0}^1\;\int\limits_{x=0}^1\sin^2(x+y)\,dx\,dy=\int\limits_{y=0}^1\;\int\limits_{x=0}^1\left(\frac12-\frac12\cos(2x+2y)\right)dx\,dy$$$$\phantom I=\int\limits_{y=0}^1\left[\frac x2-\frac14\sin(2x+2y)\right]_{x=0}^1dy=\int\limits_{y=0}^1\left[\left(\frac12-\frac14\sin(2+2y)\right)-\left(0-\frac14\sin(2y)\right)\right]\,dy$$$$\phantom I=\int\limits_0^1\left(\frac12-\frac14\sin(2+2y)+\frac14\sin(2y)\right)dy=\left[\frac y2+\frac18\cos(2+2y)-\frac18\cos(2y)\right]_0^1$$$$\phantom I=\left(\frac12+\frac18\cos(4)-\frac18\cos(2)\right)-\left(0+\frac18\cos(2)-\frac18\right)$$$$\phantom I=\frac58+\frac18\cos(4)-\frac14\cos(2)\approx0,6473\ldots$$