Aufgabe: Mehrdimensionales Integral berechnen
Problem/Ansatz: Wenn ich beim inneren Integral die Variable y festhalte und nach x integriere,wie sieht dann die Stammfunktion des inneren Integrals aus ?
I : =∫[0,1]2sin2(x+y)d(x,y). I:=\int \limits_{[0,1]^{2}} \sin ^{2}(x+y) \mathrm{d}(x, y) . I : =[0,1]2∫sin2(x+y)d(x,y).
Du kannst aus sin2 ja sin*sin machen und partielle
Integration anwenden. Gibt letztendlich nach der Int. nach x
x/2 - sin(x+y)cos(x+y)/2
Aloha :)
Mit (sin2α=12−12cos(2α))\left(\sin^2\alpha=\frac12-\frac12\cos(2\alpha)\right)(sin2α=21−21cos(2α)) kannst du das Integral direkt ausrechnen:I=∫y=01 ∫x=01sin2(x+y) dx dy=∫y=01 ∫x=01(12−12cos(2x+2y))dx dyI=\int\limits_{y=0}^1\;\int\limits_{x=0}^1\sin^2(x+y)\,dx\,dy=\int\limits_{y=0}^1\;\int\limits_{x=0}^1\left(\frac12-\frac12\cos(2x+2y)\right)dx\,dyI=y=0∫1x=0∫1sin2(x+y)dxdy=y=0∫1x=0∫1(21−21cos(2x+2y))dxdyI=∫y=01[x2−14sin(2x+2y)]x=01dy=∫y=01[(12−14sin(2+2y))−(0−14sin(2y))] dy\phantom I=\int\limits_{y=0}^1\left[\frac x2-\frac14\sin(2x+2y)\right]_{x=0}^1dy=\int\limits_{y=0}^1\left[\left(\frac12-\frac14\sin(2+2y)\right)-\left(0-\frac14\sin(2y)\right)\right]\,dyI=y=0∫1[2x−41sin(2x+2y)]x=01dy=y=0∫1[(21−41sin(2+2y))−(0−41sin(2y))]dyI=∫01(12−14sin(2+2y)+14sin(2y))dy=[y2+18cos(2+2y)−18cos(2y)]01\phantom I=\int\limits_0^1\left(\frac12-\frac14\sin(2+2y)+\frac14\sin(2y)\right)dy=\left[\frac y2+\frac18\cos(2+2y)-\frac18\cos(2y)\right]_0^1I=0∫1(21−41sin(2+2y)+41sin(2y))dy=[2y+81cos(2+2y)−81cos(2y)]01I=(12+18cos(4)−18cos(2))−(0+18cos(2)−18)\phantom I=\left(\frac12+\frac18\cos(4)-\frac18\cos(2)\right)-\left(0+\frac18\cos(2)-\frac18\right)I=(21+81cos(4)−81cos(2))−(0+81cos(2)−81)I=58+18cos(4)−14cos(2)≈0,6473…\phantom I=\frac58+\frac18\cos(4)-\frac14\cos(2)\approx0,6473\ldotsI=85+81cos(4)−41cos(2)≈0,6473…
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