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Aufgabe: Mehrdimensionales Integral berechnen


Problem/Ansatz: Wenn ich beim inneren Integral die Variable y festhalte und nach x integriere,wie sieht dann die Stammfunktion des inneren Integrals aus ?


I : =[0,1]2sin2(x+y)d(x,y). I:=\int \limits_{[0,1]^{2}} \sin ^{2}(x+y) \mathrm{d}(x, y) .

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Du kannst aus sin2 ja sin*sin machen und partielle

Integration anwenden. Gibt letztendlich nach der Int. nach x

x/2  - sin(x+y)cos(x+y)/2

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Aloha :)

Mit (sin2α=1212cos(2α))\left(\sin^2\alpha=\frac12-\frac12\cos(2\alpha)\right) kannst du das Integral direkt ausrechnen:I=y=01  x=01sin2(x+y)dxdy=y=01  x=01(1212cos(2x+2y))dxdyI=\int\limits_{y=0}^1\;\int\limits_{x=0}^1\sin^2(x+y)\,dx\,dy=\int\limits_{y=0}^1\;\int\limits_{x=0}^1\left(\frac12-\frac12\cos(2x+2y)\right)dx\,dyI=y=01[x214sin(2x+2y)]x=01dy=y=01[(1214sin(2+2y))(014sin(2y))]dy\phantom I=\int\limits_{y=0}^1\left[\frac x2-\frac14\sin(2x+2y)\right]_{x=0}^1dy=\int\limits_{y=0}^1\left[\left(\frac12-\frac14\sin(2+2y)\right)-\left(0-\frac14\sin(2y)\right)\right]\,dyI=01(1214sin(2+2y)+14sin(2y))dy=[y2+18cos(2+2y)18cos(2y)]01\phantom I=\int\limits_0^1\left(\frac12-\frac14\sin(2+2y)+\frac14\sin(2y)\right)dy=\left[\frac y2+\frac18\cos(2+2y)-\frac18\cos(2y)\right]_0^1I=(12+18cos(4)18cos(2))(0+18cos(2)18)\phantom I=\left(\frac12+\frac18\cos(4)-\frac18\cos(2)\right)-\left(0+\frac18\cos(2)-\frac18\right)I=58+18cos(4)14cos(2)0,6473\phantom I=\frac58+\frac18\cos(4)-\frac14\cos(2)\approx0,6473\ldots

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