Aufgabe:
Ich muss zeigen, dass der Betrag eines Vektors mit n ≥ 2 , ∈ ℕ :
Vk = \( \begin{pmatrix} \sqrt{\frac{2}{n}}*cos((1-\frac{1}{2})*(k-1)*\frac{π}{n})\\\sqrt{\frac{2}{n}}*cos((2-\frac{1}{2})*(k-1)*\frac{π}{n})\\...\\\sqrt{\frac{2}{n}}*cos((n-\frac{1}{2})*(k-1)*\frac{π}{n}) \end{pmatrix} \)
Der Länge 1 entspricht zum Abschluss eines Beweises für eine Orthonormalbasis.
Als Hinweis wurde angegeben, dass :
cos(x) * cos(y) = \( \frac{1}{2} \) * (cos(x + y) + cos(x - y)). (i)
Mein Ansatz lautet wie folgt :
|Vk| = \( \sqrt{n*(\sqrt{\frac{2}{n}} * cos(n-\frac{1}{2}) * (k - 1) * \frac{π}{n} )^{2} } \) | (i) mit x=y für \( cos(n-\frac{1}{2})^{2} \) anwenden
= \( \sqrt{n * (\frac{2}{n}) * \frac{1}{2} * (cos(2*n - 1) + cos (0)) * (k-1)^{2} * (\frac{π}{n})^{2} } \)
=\( \sqrt{cos(2*n-1)+1) * (k-1)^{2} * (\frac{π}{n}})^{2} \)
Jetzt bin ich ein wenig ratlos, wie und ob ich das weiter umformen kann um auf 1 zu schließen.
Oder ob ich irgendwo falsch abgebogen bin.
Sieht jemand meinen Fehler oder hat einen Vorschlag?
