Beweis dass ein Vektor mit n Stellen normiert ist.

Question

Aufgabe:

Ich muss zeigen, dass der Betrag eines Vektors mit n ≥ 2 , ∈ ℕ :

Vk = $\begin{pmatrix} \sqrt{\frac{2}{n}}*cos((1-\frac{1}{2})*(k-1)*\frac{π}{n})\\\sqrt{\frac{2}{n}}*cos((2-\frac{1}{2})*(k-1)*\frac{π}{n})\\...\\\sqrt{\frac{2}{n}}*cos((n-\frac{1}{2})*(k-1)*\frac{π}{n}) \end{pmatrix}$

Der Länge 1 entspricht zum Abschluss eines Beweises für eine Orthonormalbasis.

Als Hinweis wurde angegeben, dass :

cos(x) * cos(y) = $\frac{1}{2}$ * (cos(x + y) + cos(x - y)).   (i)

Mein Ansatz lautet wie folgt :

|V_k| = $\sqrt{n*(\sqrt{\frac{2}{n}} * cos(n-\frac{1}{2}) * (k - 1) * \frac{π}{n} )^{2} }$  | (i) mit x=y für $cos(n-\frac{1}{2})^{2}$  anwenden

     = $\sqrt{n * (\frac{2}{n}) * \frac{1}{2} * (cos(2*n - 1) + cos (0)) * (k-1)^{2} * (\frac{π}{n})^{2} }$

     =$\sqrt{cos(2*n-1)+1) * (k-1)^{2} * (\frac{π}{n}})^{2}$

Jetzt bin ich ein wenig ratlos, wie und ob ich das weiter umformen kann um auf 1 zu schließen.

Oder ob ich irgendwo falsch abgebogen bin.

Sieht jemand meinen Fehler oder hat einen Vorschlag?

Comments

Du hast bei Deiner Rechnung anders geklammert als in der Aufgabenstellung. Außerdem läuft in Deiner Aufgabenstellung das allererste Argument in der Aufgabenstellung von 1 bis n, nicht jedoch in Deiner Rechnung. Was ist mit k, natürliche Zahl?

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Ja, k ∈ ℕ , k ≥ 2.

Stimmt, sorry das hab ich übersehen.

Mit der Klammerung weiß ich gerade nicht genau an welcher Stelle du meinst.

Dann müsste sich eigentlich folgendes ergeben :

$\sqrt{ \sum\limits_{j=1}^{\ n }{ (cos(2j-1)+1) * (k-1)^{2} * (\frac{π}{n})^{2}) } }$

Tut mir leid, vielleicht hab ich ein Brett vorm Kopf aber ich sehe auch hier nicht die Richtung in die es weiter gehen sollte.

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Gehört k-1 zum Argument des cos oder istces ein Faktor " außerhalb" des cos?

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k-1 gehört zum Argument.

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Okay verstehe.

Bin mit der Klammerung durcheinandergekommen, vielen Dank für den Hinweis.

Jetzt ergibt die Summe sich richtig und der Betrag entspricht 1.