Den Index k = 0 kann man weglassen, denn dieser Summand ist 0. Die Potenzen von i können nur die vier Werte +i,-1,-i,+1 annehmen. Die Summe kann somit in jeweils vier Summanden aufgeteilt werden:
\( \sum\limits_{k=1}^{j}{k*i^k} = \)
1*(+i) + 2*(-1) + 3*(-i) + 4*(+1) +
5*(+i) + 6*(-1) + 7*(-i) + 8*(+1) +
9*(+i) + 10*(-1) + 11*(-i) + 12*(+1) ...
Man erkennt leicht, dass sich jede Vierer-Summe auf den konstanten Wert -2i +2 beschränkt.
1*(+i) + 2*(-1) + 3(-i) + 4*(+1) = -2i+2
5*(+i) + 6*(-1) + 7*(-i) + 8*(+1) = -2i+2
9*(+i) + 10*(-1) + 11*(-i) + 12*(+1) = -2i+2
Daraus folgt für j durch 4 teilbar:
\( \sum\limits_{k=1}^{j}{k*i^k} = \frac{j}{4}(-2i+2)\)
Setzt man j = 2n mit n gerade (daraus folgt j ist durch 4 teilbar), dann ergibt sich
\( \sum\limits_{k=1}^{2n}{k*i^k} = \frac{2n}{4}(-2i+2) = n(-i+1) \)
Ist j nur durch 2 teilbar (daraus folgt j+2 ist durch 4 teilbar), dann muss man von der letzen Vierer-Summe die letzten beiden Summanden abziehen. Daraus folgt:
\( \sum\limits_{k=1}^{j}{k*i^k} = \frac{j+2}{4}(-2i+2) \boxed{ - (j+2-1)*(-i) - (j+2)*(+1)} \)
Setzt man j = 2n mit n ungerade (daraus folgt j ist durch 2 teilbar), dann ergibt sich
\( \sum\limits_{k=1}^{2n}{k*i^k} = \frac{2n+2}{4}(-2i+2) - (2n+2-1)*(-i) - (2n+2)*(+1) = \)
\( (n+1)(-i+1) - (2n+1)(-i) - (2n+2) = \)
\( -i*n - i + n + 1 + 2n*i + i -2n -2 = n*i - n -1 = n(i-1) -1\)
