Zeigen Sie, dass f in jedem Punkt x ∈ℝ differenzierbar ist und berechnen Sie die Ableitung.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass f in jedem Punkt x ∈ℝ differenzierbar ist und berechnen Sie die Ableitung.
Ist die Ableitung stetig?

                   0, x = 0
f(x):= {
                   {x²cos(\( \frac{1}{x} \) , x ≠ 0

(Das soll so eine Stapelfunktion sein)

Problem/Ansatz:

Wenn ich Ableite und Cosinus und alles umstelle, erhalte ich irgendwann, dass Sinus gegen unendlich geht. Was mit nicht weiterhilft, weil [-1, 1] ein gesamtes Intervall ist. Nur weil x = 0 ist, weiß ich dann immer noch nicht ob die Ableitung stetig ist. Ich weiß auch nicht, wie ich das mit der differenzierbarkeit machen soll, bevor ich das mit der Stetigkeit mache. DIe ganze Aufgabe ergibt keinen Sinn für mich. Kann mir jemand helfen?

Answer 1

Wie wärs damit: xcos(1/x) steht dort, wenn du die Funktion in die Definition eingesetzt hast. Sei nun u=1/x dann gilt cos(u)/u und damit muss du den Limes gegen unendlich betrachten. Jetzt weißt du aber, dass cosinus beschränkt ist durch - 1 und +1. Damit gilt für alle Folgen an, die gegen unendlich konvergieren, - 1/an =< cos(an) /an =< 1/an und da an gegen unendlich konvergiert, gilt per Einschnürrungssatz, dass die Funktion gegen 0 konvergiert also differenzierbar ist in diesem Punkt.

Da sollte man noch kurz erwähnen, cosinus ist stetig, deswegen kannste den Einschnürrungssatz hier anwenden.

Answer 2

Aloha :)

\(\left(x^2\right)\) ist differenzierbar auf \(\mathbb R\). \(\left(\frac1x\right)\) ist differenzierbar für \(x\ne0\). Der Cosinus einer differenzierbaren Funktion ist ebenfalls differnzierbar. Das heißt, die Funktion \(f(x)\) ist für alle \(x\ne0\) differenzierbar:

$$f'(x)=\left(x^2\cos\frac1x\right)'=2x\cos\frac1x-x^2\sin\frac1x\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)=2x\cos\frac1x+\sin\frac1x$$

Wir müssen untersuchen, ob \(f(x)\) auch im Punkt \(x=0\) differenzierbar ist. Dazu bestimmen wir zuerst den Differenzenquotienten:$$\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{x^2\cos\frac1x-0}{x}=x\cos\frac1x$$und schauen, ob sein Grenzwert für \(x\to0\) existiert:$$\left|\cos\frac1x\right|\le1\implies\left|x\cos\frac1x\right|\le\left|x\right|\implies\lim\limits_{x\to0}\left|x\cos\frac1x\right|\le\lim\limits_{x\to0}|x|=0\implies$$$$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to0}\left(x\cos\frac1x\right)=0\implies f'(0)=0$$

Die Funktion \(f\) ist also auch für \(x=0\) mit \(f'(0)=0\) differenzierbar.