Berechnen Sie Binomialkoeffizient

Question

Berechnen Sie  Binomial [n,k] + Binomial [n,k+1]

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\( \frac{n!}{(n-k)!*k!} \) + \( \frac{n!}{(n-(k+1))!*(k+1)!} \)  ich soll dann die Brüche gleichnamig machen aber fällt mir schwer die Termen mit fakü. zu multiplizieren.  

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Ja. Gleichnamig machen ist hier richtig. Beachte dabei die schönen Gesetzte der Fakultäten.

k! * (k + 1) = (k + 1)!

Answer 1

(n über k) + (n über k + 1)

= n!/(k!·(n - k)!) + n! / ((k + 1)!·(n - k - 1)!)

= n!·(k + 1) / ((k + 1)!·(n - k)!) + n!·(n - k) / ((k + 1)!·(n - k)!)

= (n!·(k + 1) + n!·(n - k)) / ((k + 1)!·(n - k)!)

= n!·((k + 1) + (n - k)) / ((k + 1)!·(n - k)!)

= n!·(k + 1 + n - k) / ((k + 1)!·(n - k)!)

= n!·(n + 1) / ((k + 1)!·(n - k)!)

= (n + 1)! / ((k + 1)!·(n - k)!)

= (n + 1 über k + 1)

Comments

Ich weiß zwar nicht warum dieser Hausaufgaben-SPAM immer noch bedient wird, aber egal. Eine einfache Überlegung liefert sofort das Endergebnis, also nicht das hier.

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Eine einfache Überlegung liefert sofort das Endergebnis

In der Aufgabe steht "Berechnen Sie".

Weiterhin ist es eine gute Übung mit Fakultäten zu rechnen. Also nicht wenn man es nur abschreibt sondern wenn man es selber machen würde.

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Sehe ich ganz genauso!

Answer 2

\({n \choose k}+{n\choose {k+1}}=\frac{n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{(k+1)!(n-(k+1))!}=\)

\(\frac{n!(k+1)+n!(n-k)}{(k+1)!(n-k)!}=\frac{n!(k+1+n-k)}{(k+1)!(n-k)!}=\frac{(n+1)!}{(k+1)!((n+1)-(k+1))!}={{n+1}\choose {k+1}}\)