Hallo,
Die Kurve bei a) ist eine Ellipse. Du kannst die Koordinaten \((x,\,y)\) von dem Parameter \(\theta\) abhängig machen$$\left(x,y\right)=\left(\frac{1}{2}\cos\left(\theta\right),\sin\left(\theta\right)\right)$$ Oder ersetze z.B. die Koordinaten \(x\) und \(y\) durch die Polarkoordinaten. Dann erhält man$$r =\sqrt{\frac{1}{\cos\left(\theta\right)^{2}+1}}$$
bei b) hilft zunächst die räumliche Vorstellung (klick auf das Bild)
keine Ahnung, ob Du das so einfach sehen kannst. Ich sehe, dass die Schnittmenge ein Kreis mit Mittelpunkt \((0,5|\,0|\,0,5)\) und mit einem Radius von \(r=\sqrt 2/2\) ist. Und als Parameter taugt wieder ein Winkel \(\theta\) von dem die drei kartesischen Koordinaten abhängen:$$\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,5\\ 0\\ 0,5\end{pmatrix} + \frac{1}{2} \sqrt 2 \underbrace{\begin{pmatrix}\sin(\theta) / \sqrt 2\\ \cos(\theta)\\ \sin(\theta) /\sqrt 2\end{pmatrix}}_{||=1} = \frac 12\begin{pmatrix}1+\sin(\theta)\\ \sqrt 2 \cdot \cos(\theta)\\ 1+\sin(\theta)\end{pmatrix}$$Tipp: der Betrag des 'Drehvektors' muss \(=1\) sein.
zu c) Die einfachste Art eine Normalparabel in Parameterschreibweise darzustellen ist schlicht$$\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} t\\t^2 \end{pmatrix}$$Und um das zu drehen multipliziert man den Vektor mit der üblichen Drehmatrix \(D\)$$D = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}$$ und mit \(\theta = -45°=-\pi/4\) wird daraus$$\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = \frac{\sqrt 2}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} t\\t^2 \end{pmatrix}$$und so sieht es dann in Desmos aus:
https://www.desmos.com/calculator/odjrgsnkqu
Eine Alternative in Polarkoordinaten sähe so aus$$r=\frac{\tan\left(\theta-a\right)}{\cos\left(\theta-a\right)} \quad a = -\frac{\pi}{4}$$Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.
Gruß Werner
