Lipschitzstetigkeit zu beweisen

Question

Ich brauche Hilfe um Lipschitzstetigkeit zu prüfen. Kann jemand mir ohne Ableitung helfen? Also nur mit der Definition.

$f:[0,1]\to \mathbb R,\ f(x):=\sqrt{x-\sin(x)}$.

$\textbf{Proof:}$ Sei $x,y \in [0,1].$ Let $\epsilon>0$. Wähle $\delta=...$.

Dann $\forall \ x,y \in [0,1]$ mit $\lvert x-y \rvert<\delta$,

wir haben

$\lvert f(x)-f(y) \rvert=\lvert \sqrt{x-\sin(x)}-\sqrt{y-\sin(y)}\rvert=\Bigg \lvert \frac{x-\sin(x)-y+\sin(y)}{\sqrt{x-\sin(x)}+\sqrt{y-\sin(y)}} \Bigg \rvert=\Bigg \lvert \frac{x-y+\sin(y)-\sin(x)}{\sqrt{x-\sin(x)}+\sqrt{y-\sin(y)}} \Bigg \rvert=$

ab jetzt habe ich Problem. Wie kann ich das weiterschätzen? Auf dem bild ist mein Versuch.

Comments

Hallo

das √x bei 0 nicht lipschitzstetig ist, muss man Eigenschaften von sin (x) benutzen. 1. warum willst du das ohne Ableitungen machen. 2. Welche Eigenschaften von sin(x) kannst oder darfst du benutzen?

Gruß lul

---

@lul hallo) weil man mit Definition und solche Abschätzungen die Mathe viel stärker fühlen kann.) Alle Eigenschaften von sin(x) darf ich verwenden)

LG, Niki

Answer 1

Hallo

 1. für x>0 ist √x L stetig, eben so x und sin(x)  damit auch die zusammengesetzte Funktion deshalb muss man nur in x=0 untersuchen . dabei sinx durch den Anfang seiner Reihe ersetzen

lul

Comments

$x \leq x$ und fwfwfwfwfw

---

Text erkannt:

$|f(x)-f(y)|=|\sqrt{x-\sin (x)}-\sqrt{y-\sin (y)}|$
$=\left|\frac{x-\sin (x)-y+\sin (y)}{\sqrt{x-\sin (x)}+\sqrt{y-\sin (y)}}\right| \leq\left|\frac{x-y+\sin (y)-\sin (x)}{\sqrt{x-\sin (x)}}\right|$
$=\left|\frac{x-y+\sin (y)-\sin (x)}{\left.\sqrt{x-\left(x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}-\frac{x^{7}}{7 !}\right.}\right)}\right|$
$=\left|\frac{\mid x-y+\left(y-\frac{y^{3}}{3 !}+\frac{y^{5}}{5 !} \cdots\right)-\left(x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}\right)}{\sqrt{\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}-\frac{x^{7}}{7 !} \cdots} \mid}\right|$
$=\left(\frac{\left(\frac{x^{3}}{5 !}-\frac{y^{3}}{3 !}\right)+\left(\frac{y^{5}}{5 !}-\frac{x^{5}}{5 !}\right)+\cdots+}{\sqrt{\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}-\frac{x^{7}}{7 !}+\ldots+}} \mid\right.$
$=\left|\frac{\left.\frac{(x-y)\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)+(x-y)\left(-x^{4}-x^{3} y-x^{2} y^{2}-x y^{3}-y^{3}\right.}{5 !}\right)}{\sqrt{\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}-\frac{x^{7}}{7 !}+\ldots+}}\right|$
$=\left(\frac{(x-y)\left[\frac{\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)}{3 !}+\frac{\left(x^{4}-x^{3} y-x^{2} y^{2}-x y^{3}-y^{3}\right)}{5 !}\right.}{\sqrt{\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}-\frac{x^{7}}{7 !}}}\right)$

---

@lul hallo! tut mir leid für Obige Spamm. Ich habe probiert, ob Latex funktionieren wird)
Ich habe versuchen, deinen Tipp anzuwenden. Ich kann nicht trotzdem weiter. Kannst bitte mir helfen, wenn du Spaß und Zeit hast. Wäre sehr dankbar. Meinen Versuch schicke ich dir.

p.s im Nenner habe ich einen Fehler mit dem Vorzeichnen. Es ist aber egal.

Lg, Niki

---

Ich verstehe Dein Anliegen nicht. Es ist doch absurd, auf das Hilfsmitte Ableitung verzichten zu wollen, aber Taylorreihen zu nutzen.

Das ist so, als wenn man einen Rotenplaner auf dem Handy hat, sich aber jede Bildschirmseite ausdrucken lässt...

---

Hallo

ich hatte gesagt: nur bei x=0 untersuchen fü kleine x>0 gilt sinx=x-x³/3!

Gruß lul