Lipschitzstetigkeit und Fixpunkte

Question

Hallo, ich habe folgende Aufgabe: Gegeben sind die Funktionen

a) f: R —> R, f(x) := arctan(x)

b) g: R_≥1 —> R, g(x) := x+1/x

c) h: R_>0 —> R, h(x) := ln(x)+x

d) u: R —> R, u(x) := sin(x)

Ich soll überprüfen, welche davon lipschitzstetig sind und es dann zeigen. Zusätzlich sollte ich noch prüfen, ob diese Funktionen einen Fixpunkt haben.

Kann mir jemand helfen, da ich nicht weiss wie genau ich bei diesen Funktionen die Lipschitzstetigkeit zeigen bzw. widerlegen kann. Also ich bräuchte paar Tipps.

Answer 1

Hallo.

Alle Funktionen sind differenzierbar, wie man leicht erkennen kann.

Es gilt allgemein: Eine differenzierbare Funktion f ist genau dann Lipschitzstetig mit der Lipschitzkonstante L > 0, wenn die Ableitung f‘ durch L beschränkt ist. Versuch mal damit.

Zu den Fixpunkten, kannst du ja einfach leicht die Definition nutzen und schauen welche x diese Bedingung erfüllen. In dem Fall scheinr es nicht so schwer zu sein.

Comments

a) f‘(x) = 1/ 1+x^2.

Es gilt 1 ≥ f‘(x) > 0 denn 1+x^2 ≥ 1 für alle x und f‘(x) > 0 gilt, da auch 1+x^2 > 0 ist. Insbesondere gilt damit zusammen für alle x, 1 ≥ f‘(x) = |f‘(x)|. Damit ist f Lipschitzstetig mit Lipschitzkonstante L = 1

=> |x-y| ≥ |arctan(x)-arctan(y)| (für alle x,y aus R)

b) g‘(x) = 1-1/x^2. Da x ≥ 1 ist ist 1 ≥ 1/x^2

≥ 0. Dann gilt |g‘(x)| = g‘(x) = 1-1/x^2 ≤ 1. g ist somit auch mit L = 1 lipschitzstetig.

=> |g(x)-g(y)| ≤ |x-y| (für alle x,y aus R)

c) h‘(x) = 1+1/x. Da Lim h‘(x) = unendlich ist für x -> 0, ist h‘ nichg beschränkt und h damit nicht lipschitzstetig.

d) u‘(x) = cos(x). Da cos beschränkt ist, also |cos(x)| ≤ 1, ist u = sin durch L = 1 lipschitstetig. => |sin(x)-sin(y)| ≤ |x-y| (für alme x,y aus R)

Fixpunkte:

a) x = arctan(x) wird z.B. für x = 0 erfüllt. Also ist x = 0 ein Fixpunkt von f

b) x = x+1/x => 1/x = 0 kann für kein x erfüllt werden, wodurch hier kein Fixpunkt von g existiert

c) ln(x)+x = x => ln(x) = 0 wird für x = 1 erfüklt. x = 1 ist somit Fixpunkt von h.

d) sin(x) = x wird z.B. für x = 0 erfüllt. Also ist x = 0 ein Fixpunkt von u.

Habe ich das richtig gemacht?

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Ich meine Du hast a) geändert oder? Ich hatte da eine andere Funktion gesehen.

Zu deiner Lösung: Ja du hast es richtig gemacht.

Kleine Anmerkung: Bei b) gilt sogar

|g(y)-g(x)| < |y-x|. Denn beachte die Abschätzung

|g(y)-g(x)| = |y+1/y - (x+1/x)| = |(y^2 +1)/y - (x^2 + 1)/x| = |(xy(y-x)+x-y)/xy|

= |(xy(y-x)-(y-x))/xy| = |y-x| |(xy-1)/xy| < |y-x| |xy/xy| = |y-x| für alle x,y.

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Ja hatte a) geändert :D.

Danke dir! :)