Wahrscheinlichkeitstheorie - Gesetze der großen Zahlen

Question

Hallo liebes Forum,

ich suche seit Tagen nach einem Beispiel für eine Folge von Zufallsvariablen, die das schwache Gesetz der großen Zahlen erfüllt, das starke aber nicht. Also für

$$T_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\mathbb{E}[X_n])$$

eine Folge $$(X_i)_i$$ mit $$T_n \to 0$$ in Verteilung, aber nicht fast sicher.

Offensichtlich gibt es dieses Beispiel nicht für unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen, ich denke aber, es sollte ein Beispiel für unabhängig, nicht-identisch verteilte ZV geben (konnte zumindest nicht das Gegenteil beweisen). Hat jemand von Euch ein passendes Beispiel, oder kann eine Auskunft dazu geben, ob es so ein Beispiel gibt.

Vielen Dank und viele Grüße

Comments

Die richtige Definition ist natürlich

$$T_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\mathbb{E}[X_i])\text{.}$$

und $$T_n \to 0$$ soll in Wahrscheinlichkeit konvergieren und nicht fast sicher konvergieren.

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Bei https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_large_numbers stehen ein paar Beispiele.