Bijektivität einer Vektorfunktion, aber Komponentenweise

Question

Aufgabe:

Ich habe eine Vektorwertige Funktion

$$\Phi(x, y):=\left(2 \mathrm{e}^{x}-x^{2}, x+y\right)$$

Nun soll ich Bijektivität zeigen.

Problem/Ansatz:

Zuerst soll ich zeigen, dass die erste Komponente der Vektorfunktion

$$\mathbb{R} \ni x \mapsto 2 \mathrm{e}^{x}-x^{2} \in \mathbb{R}$$

bijektiv ist. Nun versuche ich erstmal mit der Definition der Injektivität zu zeigen, dass diese injektiv ist.

Irgendwie klappt das nicht. Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich aus der Gleichung

$$e^x-x^2=e^y-y^2$$

ableiten kann, dass \(x=y\)?

Viele Grüße Simplex

Comments

Für \(h(x)=2\mathrm e^x-x^2\) ist \(h^\prime(x)=2(\mathrm e^x-x)>0\) für alle \(x\in\mathbb R\), d.h. \(h\) ist streng monoton steigend.

Answer 1

\(x \mapsto 2 \mathrm{e}^{x}-x^{2}\) ist auf \(\mathbb{R}\) bijektiv, weil die Funktion auf \(\mathbb{R}\) stetig ist, keine Extrempunkte hat, \(\lim\limits_{x\to -\infty } 2 \mathrm{e}^{x}-x^{2} = -\infty\) ist und \(\lim\limits_{x\to\infty } 2 \mathrm{e}^{x}-x^{2} = \infty\) ist.