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Aufgabe:

Ich habe eine Vektorwertige Funktion

Φ(x,y) : =(2exx2,x+y)\Phi(x, y):=\left(2 \mathrm{e}^{x}-x^{2}, x+y\right)

Nun soll ich Bijektivität zeigen.


Problem/Ansatz:

Zuerst soll ich zeigen, dass die erste Komponente der Vektorfunktion

Rx2exx2R\mathbb{R} \ni x \mapsto 2 \mathrm{e}^{x}-x^{2} \in \mathbb{R}

bijektiv ist. Nun versuche ich erstmal mit der Definition der Injektivität zu zeigen, dass diese injektiv ist.

Irgendwie klappt das nicht. Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich aus der Gleichung

exx2=eyy2e^x-x^2=e^y-y^2

ableiten kann, dass x=yx=y?


Viele Grüße Simplex

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Für h(x)=2exx2h(x)=2\mathrm e^x-x^2 ist h(x)=2(exx)>0h^\prime(x)=2(\mathrm e^x-x)>0 für alle xRx\in\mathbb R, d.h. hh ist streng monoton steigend.

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x2exx2x \mapsto 2 \mathrm{e}^{x}-x^{2} ist auf R\mathbb{R} bijektiv, weil die Funktion auf R\mathbb{R} stetig ist, keine Extrempunkte hat, limx2exx2=\lim\limits_{x\to -\infty } 2 \mathrm{e}^{x}-x^{2} = -\infty ist und limx2exx2=\lim\limits_{x\to\infty } 2 \mathrm{e}^{x}-x^{2} = \infty ist.

Avatar von 107 k 🚀

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