Aloha :)
An dem Weg \(\vec \phi(t)\) den du durch das Vektorfeld gehen sollst, kannst du nichts ändern. Aber du musst diesen Weg vielleicht gar nicht gehen. Wenn die Rotation des Vektorfeldes gleich \(\vec 0\) ist, kommt für alle Wege \(\vec \phi(t)\) dasselbe Ergebnis raus. Das Ergebnis des Kurvenintegrals hängt dann also nur von Start- und Endpunkt ab.
Mit anderen Worten, wenn die Rotation über das Vektorfeld verschwindet, kannst du dir einen beliebgien Weg aussuchen.