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Aus der Vorlesung ist der Mittelwertsatz (MWS) der Integralrechnung bekannt: Ist \( f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) stetig. Dann existiert \( \xi \in[a, b] \) mit
\( f(\xi)=\frac{1}{b-a} \int \limits_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \)
Beweisen Sie die verallgemeinerte Version des MWS:
Seien \( f, \rho:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) stetig mit nicht-negativer Funktion \( \rho \), also \( \rho(x) \geq 0 \) für \( x \in[a, b] \). Dann existiert \( \xi \in[a, b] \) mit

\( f(\xi) \int \limits_{a}^{b} \rho(x) \mathrm{d} x=\int \limits_{a}^{b} f(x) \rho(x) \mathrm{d} x \)

Ich weiß nicht genau, wie ich vorgehen soll.
Danke im voraus.

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Moinsen.


Hier für würde sich sehr gut der Satz vom Minimum und Maximum anbieten und der Zwischenwertsatz. Mit dem Satz vom Minimum und Maximum könntest das Integral nach unten und oben abschätzen, indem du f(x) durch dieses ersetzt. Dann stellst du die Abschätzung so um, dass nur noch das Minimum und Maximum auf der linken und rechten Seite steht. Überleg dann wie du den Zwischenwertsatz anwenden kannst.

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