Zeigen Sie jeweils, dass die Differentialgleichung zu (t0, y0) ∈ I × J auf einem geeigneten

Question

Aufgabe:

Es seien I, J ⊂ R offene Intervalle und f : I → R, g : J → R beide stetig. Dann ist die
Differentialgleichung
y′ = f (t)g(y)
mit getrennten Variablen gegeben. Es sei eine der folgenden Voraussetzungen erfüllt.
a) Es gelte g(y )≠ 0 für alle y ∈ J.
b) g erfülle eine lokale Lipschitz-Bedingung.
Zeigen Sie jeweils, dass die Differentialgleichung zu (t₀, y₀) ∈ I × J auf einem geeigneten
offenen Intervall I₀ ⊂ I eine eindeutige Lösung φ : I₀ → R besitzt mit φ(t₀) = y₀

Problem/Ansatz:

Ansatz:
a) Ich habe das Integral von 1/g(y) gebildet und das Integral von f(t). Die Stammfunktion habe ich als G(y) und F(t) definiert
Jetzt habe ich G(φi(t)) = F(t) gesetzt. Wie mache ich bei dieser Aufgabe weiter und wie zeige ich deren Eindeutigkeit.

b) Hier brauche ich ebenfalls hilfe, weil ich nicht weiß was ich dort machen muss

LG Cherila

Answer 1

Hallo

du kennst den Satz von Piccard Lindelöf? damit zeigst du die Eindeutigkeit.

Gruß lul

Comments

Ja, den Existenzsatz von Piccard Lindelöf hatten wir, aber dann muss ich doch für a) noch zeigen, dass eine lokale Lipschitz Bedingung erfüllt ist oder?

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Hallo,

bei a) kannst Du folgende Überlegung verwenden: Die Ableitung von G ist ja 1/g. Nach Voraussetzung ist g ungleich 0, also positiv oder negativ. Dementsprechend ist G streng wachsen oder fallend. Daher ist die Gleichung \(G(\phi(t))=F(t)\) lokal eindeutig auflösbar.

Gruß Mathhilf