Geben sie den Grenzwert der Folgen an.

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz und wenn gegeben den Grenzwert.

a) \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) definiert durch \( a_{n}=\frac{3^{n}}{4^{n+k}+4} \) mit \( k \in \mathbb{Z} \) fest.
b) \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) mit \( a_{n}=\frac{3^{n}}{n !} \)

Hoffe auf Hilfe. Vielen dank.

Answer 1

Aloha :)

$$a_n=\frac{3^n}{4^{n+k}+4}=\frac{3^n}{4^n\cdot 4^k+4}<\frac{3^n}{4^n\cdot 4^k}=\frac{1}{4^k}\cdot\left(\frac34\right)^n\to\frac{1}{4^k}\cdot0=0$$

Für \(n\ge 4\) gilt:$$b_n=\frac{3^n}{n!}=\frac{\overbrace{3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdots3}^{n\text{ Faktoren}}}{\underbrace{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdots n}_{n\text{ Faktoren}}}=\frac{3\cdot3\cdot3}{1\cdot2\cdot3}\cdot\frac{\overbrace{3\cdot3\cdot3\cdots3}^{(n-3)\text{ Faktoren}}}{\underbrace{4\cdot 5\cdot 6\cdots n}_{(n-3)\text{ Faktoren}}}=\frac{27}{6}\cdot\frac{\overbrace{3\cdot3\cdot3\cdots3}^{(n-3)\text{ Faktoren}}}{\underbrace{4\cdot 5\cdot 6\cdots n}_{(n-3)\text{ Faktoren}}}$$$$\phantom{b_n}\le\frac{27}{6}\cdot\frac{\overbrace{3\cdot3\cdot3\cdots3}^{(n-3)\text{ Faktoren}}}{\underbrace{4\cdot 4\cdot 4\cdots 4}_{(n-3)\text{ Faktoren}}}=\frac{27}{6}\cdot\left(\frac34\right)^{n-3}\to\frac{27}{6}\cdot0=0$$

Answer 2

hallo

a)kürze durch 4^n

b) schreib dir das mal für n=6,7,8 auf, was siehst du, dann zeige es! dein TR kann auch 3^10/10! usw ausrechnen-

lul