Geben Sie zwei kovergente folgen an

Question

geben Sie zwei konvergente Folgen (an)n∈N und (bn)n∈N an, so dass an< bn für alle n∈N, aber lim n→∞an ≥ lim n→∞bn.

b) Geben Sie eine Nullfolge (an)n∈N in ]0,∞[ an, so dass ∑∞n=1(−1)^n*an divergiert.

Answer 1

an = 1/(n+1) und bn=1/n aber Grenzwerte sind beide gleich 0.

Answer 2

Die erste Teilaufgabe klingt zunächst unlösbar, aber ≥ beinhaltet eben auch die Möglichkeit von "gleich".

Beide Folgen müssen gegen den selben Grenzwert konvergieren; eine von beiden nur etwas schneller.

zu b) Vorzeichenwechsel und Nullfolge klingen nach Konvergenz wegen Leibniz.

Um diese zu umgehen, muss a_n selbst bereits alternierend sein, und der Faktor (-1)ⁿ macht das alternierende Verhalten rückgängig, sodass alles ganz harmonisch enden kann...