Question

Bestimmen Sie die Ableitungen folgender Funktionen (mit Zwischenschritten!):
(a) \( f: \mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( f(x)=\left(x^{x}\right)^{x} \).
(b) \( g: \mathbb{R} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R} \operatorname{mit} g(x)=\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2} \).

Bestimmen Sie die Ableitungen folgender Funktionen (mit Zwischenschritten)

kann mir jemand helfen, ich komme nicht weiter.

Comments

\(\large g(x)=x^2+2+\frac1{x^2},\quad g^\prime(x)=2x-\frac2{x^3}\).

Answer 1

f ( x ) = ( x + 1/x ) ^2

f ´( x ) = 2 * ( x + 1/x ) * ( x + 1/x) ´

( x + 1/x) ´ = x´+ ( 1/x )´

= 1 + ( x^-1) ´
= 1 + ( -1 * x^(-1-1))
= 1 - x^(-2))
= 1 - 1 / x^2
( x + 1/x) ´ = 1 - 1 / x^2

f ´( x ) = 2 * ( x + 1/x ) * ( 1 - 1/x^2 )
Geprüft.

Answer 2

a) Es ist eine Verkettung von Funktionen, nämlich mit \( g(x)=x^{x} \) gilt

\( f(x)=g(x)^{x} . \)
Also berechnen wir ersteinmal die Ableitung von \( a(x)^{b(x)} \). Es gilt
\( \begin{aligned} a(x)^{b(x)}=y(x) & \Longrightarrow b(x) \ln (a(x))=\ln (y(x)) \\ & \Longrightarrow \frac{d}{d x}(b(x) \ln (a(x)))=\frac{d}{d x}(\ln (y(x))) \\ & \Longrightarrow b^{\prime}(x) \ln (a(x))+\frac{b(x) a^{\prime}(x)}{a(x)}=\frac{y^{\prime}(x)}{y(x)} \\ & \Longrightarrow y(x)\left(b^{\prime}(x) \ln (a(x))+\frac{b(x) a^{\prime}(x)}{a(x)}\right)=y^{\prime}(x) \\ & \Longrightarrow a(x)^{b(x)}\left(b^{\prime}(x) \ln (a(x))+\frac{b(x) a^{\prime}(x)}{a(x)}\right)=y^{\prime}(x) \end{aligned} \)
Setze nun im obigen \( a(x)=x^{x} \) und \( b(x)=x \) (du musst dann die Regel zwei Mal anwenden, nämlich ein weiteres Mal um die Ableitung von \( x^{x} \) zu bestimmen).

Answer 3

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Bei der ersten Aufgabe hilft \(a^b=e^{b\ln a}\) weiter:$$f'(x)=\left((x^x)^x\right)'=\left(x^{(x^2)}\right)'=\left(e^{x^2\ln x}\right)'=\underbrace{\overbrace{e^{x^2\ln x}}^{=(x^x)^x}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{(\overbrace{x^2}^{=u}\cdot\overbrace{\ln x}^{=v})'}_{\text{innere Abl.}}$$$$\phantom{f'(x)}=(x^x)^x\cdot\left(\underbrace{2x}_{=u'}\cdot\underbrace{\ln x}_{=v}+\underbrace{x^2}_{=u}\cdot\underbrace{\frac1x}_{=v'}\right)=(x^x)^x\cdot(2x\ln x+x)$$

Bei der zweiten Aufgabe brauchst du nur die erste binomische Formel:$$g'(x)=\left(\left(x+\frac1x\right)^2\right)'=\left(x^2+2+\frac{1}{x^2}\right)'=2x-\frac{2}{x^3}$$