Brweis: Zentraler Differentialquotient

Question

Aufgabe:

Hallo! Ich muss folgende Mathe Aufgabe bekommen, aber habe Probleme Sie zu lösen. Ich hoffe es kann mir jemand helfen!

Sei \( f: I \rightarrow \mathbb{R} \) in \( x_{0} \in I \) differenzierbar. Beweisen Sie, dass
\( \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}-h\right)}{2 h}=f^{\prime}\left(x_{0}\right) \)

Answer 1

$$f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \newline f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x) - f(x-h)}{h} \newline \text{Addieren wir beide Seiten erhalten wir} \newline 2 \cdot f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x) + f(x) - f(x - h)}{h} \newline 2 \cdot f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x - h)}{h} \newline f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x - h)}{2 \cdot h}$$

Comments

Achsooo, so geht das. Ich dachte, dass ist noch schwieriger. Danke für deine Hilfe :)