Wieviel gewinnt man bei wiederholten Münzwürfen im Mittel?

Question

Aufgabe:

Bei einer Serie von wiederholten Würfen einer fairen Münze setzt ein Spieler immer auf „Zahl“. Erscheint Zahl, bekommt er den doppelten Einsatz ausbezahlt, im anderen Fall ist sein Einsatz weg und er setzt beim nächsten Mal doppelt so viel wie zuletzt. Er spielt solange, bis er zum ersten Mal etwas ausbezahlt bekommt oder pleite ist (je nach dem, was früher eintritt). Wieviel gewinnt er im Mittel, wenn er unendlich viel Kapital hat bzw. höchstens 31 Einheiten setzen kann? (Ergebnis: 1 Einheit bzw. 0 Einheiten).

Problem/Ansatz:

Ich habe zunächst versucht mit beispielswerten einen Ereignisbaum zu zeichnen, jedoch wurde ich nicht schlau daraus. Ich gehe auch davon aus, dass ich für diese Aufgabe, die Binomialverteilung brauche, da es sich hierbei um einen wiederholten Wurf handelt

Answer 1

Nimm zuerst an, dass der Spieler unendlich viel Kapital hat und auch unendlich viel Geld setzen darf. Beides ist in der Realität limitiert.

Was Gewinnt der Spieler wenn Z fällt.
Was gewinnt der Spieler wenn WZ fällt.
Was gewinnt der Spieler wenn WWZ fällt.

Was gewinnt der Spieler im Mittel, wenn er mit seiner Strategie so lange spielt bis das erste mal Z fällt.

PS du brauchst die Binomialverteilung nicht.

Schau dir einfach die obigen Pfade an und spiel es selber durch.

Comments

Eigentlich brauche ich dann dafür keine Formel, denn mit der folgenden Überlegung müsste es ja auch gehen. Spieler setzt 2€ ein und bekommt bei Zahl 4€ ausgezahlt, bei Kopf hat er 2€ verloren. Somit gewinnt er im Mittel immer 2€, was einer Einheit entspricht. Korrekt?

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Was Gewinnt der Spieler wenn Z fällt.

Zunächst mal zahlt der Spieler einen Einsatz von 1 GE, Ich lese nirgendwo was von Euro.

Dann wirft er die Münze und erhält 2 mal den Einsatz also 2 GE ausgezahlt.

Der Spieler hört jetzt auf und hat 1 GE gewonnen.

Jetzt kommst du und machst das so mal für WZ und WWZ nach.

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Spieler gewinnt wenn WZ fällt:

Spieler zahlt 1GE -> W

Spieler verliert 1GE (Spielerkonto = -1GE)

Spieler zahlt 2 * GE -> Z  (Spielerkonto = -3GE)

Spieler gewinnt 4GE und hört auf: Daraus folgt, Spieler gewinnt (Spielerkonto = -3GE + 4GE = 1GE)

Spieler gewinnt wenn WWZ fällt:

Spieler zahlt 1GE -> W
Spieler verliert 1GE (Spielerkonto = -1GE)
Spieler zahlt 2 * GE -> Z  
Spieler verliert 2 GE  (Spielerkonto = -3GE)

Spieler zahlt 4GE ( Spielerkonto = -7GE)

Spieler gewinnt 8GE und hört auf: Daraus folgt, Spieler gewinnt (Spielerkonto = -7GE + 8GE = 1 GE)

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Ok. Daraus schließen wir, wenn man unendlich viel Geld besitzt und unendlich viel setzen darf gewinnt man auf lange Sicht bei jedem Gewinn 1 GE.

Übrigens kann man das natürlich nach mathematisch sauber nachweisen das es tatsächlich immer ein Euro ist.

Kommen wir jetzt also zur Limitierung. Der Spieler darf maximal 31 GE setzen. Warum 31 GE ist hier unklar weil bei einer Verdopplung setzt er ja ohnehin immer eine Zweierprotenz also entweder 16 oder 32 GE aber niemals etwas dazwischen. Wir könnten also auch sagen wie limitieren es das er maximal 16 GE setzen darf.

Jetzt sieht das etwas anders aus oder?

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Jetzt könnte man ja sagen, dass er nur maximal 5 mal die Münze werfen kann ( da die Kosten beim 1. Spiel 1GE, 2. Spiel 2GE, 3. Spiel 4GE, 4. Spiel 8GE, 5. Spiel 16GE betragen. 6 mal nicht mehr, da das Spiel sonst 32GE kosten würden, welche er nicht hat). So gesehen gewinnt er keine Einheiten, sondern verliert nur seine zuvor eingesetzten Einheiten

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Genau um jetzt den Erwartungswert zu berechnen musst du eine Wahrscheinlichkeitsverteilung machen.