Glückspiel: Gewinnt die Bank im Mittel?

Question

wir betrachten ein für 50 Euro gekauftes, gezinktes Glücksrad mit der Wahrscheinlichkeitsdichte
$$\rho(\varphi)=\frac{1}{4}(\sin(\varphi/2)-\frac{1}{2}\sin(\varphi)) \quad \quad 0\leq\varphi \leq 2\pi$$
Das Glücksrad hat 64 Teilungsnägel, alle im gleichen Abstand, einer bei $$\varphi=0$$. Bei einem Einsatz von 1 Euro erhält man eine Auszahlung von 63 Euro. Jeden Abend übernimmt eine andere Person die Bank, wobei bis auf einen Spieler X keiner der anderen Spieler die Wahrscheinlichkeitsdichte [latex]\rho(\varphi)[/latex] kennt.
Frage:
- Gewinnt die Bank im Mittel?
- Wie sieht es mit dem Spieler X aus?
Die normalen Spieler gehen ja von einer Wahrscheinlichkeit von 1/64, d.h. bei 64 Spielen macht die Bank einen Gewinn von einem Euro. Wie zeige ich jetzt Mathematisch, dass die Bank im Mittel Gewinn macht oder nicht?Und wie betrachte ich denn Fall bei Spieler X?
In der Vorlesung haben wir bis jetzt nur den Wahrscheinlichkeitsraum eingeführt (hatte mir etwas zur W'dichte auf Wiki durch gelesen). Könnte mir mal bitte jemand ausführlich erklären wie eine derartige Aufgabe mathematisch korrekt löse, finde leider keine Beispiel...
MfG

Comments

> Bei einem Einsatz von 1 Euro erhält man eine Auszahlung von 63 Euro.

Cool, da würde ich mitspielen. Immerhin kann ich nicht verlieren.

Oder ist die Auszahlung von 63 Euro etwa an weitere Bedingungen geknüpft, die du uns verschwiegen hast?

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Man muss natürlich das richtige Feld $$2\pi/64$$ auswählen um zu gewinnen

Answer 1

> mit der Wahrscheinlichkeitsdichte \(\rho(\varphi)=\frac{1}{4}(\sin(\varphi/2)-\frac{1}{2}\sin(\varphi)) \quad \quad 0\leq\varphi \leq 2\pi\)

Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass das Glücksrad zwischen Winkel \(\varphi_1\) und Winkel \(\varphi_2\) stehen bleibt, beträgt \(\int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\rho(\varphi) \,\mathrm{d}\varphi\).

Comments

Ja, aber wie zeige ich, dass die Bank im mittel Gewinn macht?