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Aufgabe 2.32 Wir werfen einen fairen 5-seitigen Würfel 3-mal hintereinander. Die Seiten des Würfels seien mit 1,2,,5 1,2, \ldots, 5 beschriftet. Das Ergebnis des i i -ten Wurfes werde durch die Zufallsvariable Xi(i=1,2,3) X_{i}(i=1,2,3) beschrieben.
Definiert seien weiterhin die Zufallsvariablen
S : =5X1+4X2+3X3 und D : =5X14X23X3 S:=5 X_{1}+4 X_{2}+3 X_{3} \text { und } D:=5 X_{1}-4 X_{2}-3 X_{3}

(c) Bestimmen Sie Cov(S,D) \operatorname{Cov}(S, D) .


Lösung zu c)

(c) Cov(S,D)=E(SD)E(S)E(D),E(S)=53+43+33=36,E(D)=6 \operatorname{Cov}(S, D)=E(S D)-E(S) \cdot E(D), E(S)=5 \cdot 3+4 \cdot 3+3 \cdot 3=36, E(D)=-6
E(SD)=E(25X1216X2224X2X39X32)=(25169)E(Xi2)24E(X2X3) E(S D)=E\left(25 X_{1}^{2}-16 X_{2}^{2}-24 X_{2} X_{3}-9 X_{3}^{2}\right)=(25-16-9) \cdot E\left(X_{i}^{2}\right)-24 \cdot E\left(X_{2} X_{3}\right)
=011249=216 \quad=0 \cdot 11-24 \cdot 9=-216
Cov(S,D)=216(36(6))=216+216=0 \Rightarrow \operatorname{Cov}(S, D)=-216-(36 \cdot(-6))=-216+216=0




Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht warum, bei der Berechnung des Erwartungswertes von der Zufallsvariable S für X1,X2,X3 der Wert 3 hergenommen wird. Kommt der Wert 3 von E(Xi) = 3, wenn ja, warum wird der E(Xi) für X1,X2,X3 eingesetzt?


Außerdem verstehe ich nicht, woher -24X2X3 hergenommen wird?

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Aloha :)

Für den Wurf mit einem Würfel ist der Erwartungswert<X>=15(1+2+3+4+5)=3\left<X\right>=\frac15\left(1+2+3+4+5\right)=3<X2>=15(12+22+32+42+52)=11\left<X^2\right>=\frac15\left(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2\right)=11Da die vorigen Würfe nicht das Ergebnis des aktuellen Wurfs beeinflussen, sind X1X_1, X2X_2 und X3X_3 unabhängig, das heißt die berechneten Mittelwerte gelten für jeden der 3 Versuche.

Da der Erwartungswert ist linear, daher gilt:E(D)=<D>=<5X14X23X3>=5<X1>4<X2>3<X3>=2<X>=6E(D)=\left<D\right>=\left<5X_1-4X_2-3X_3\right>=5\left<X_1\right>-4\left<X_2\right>-3\left<X_3\right>=-2\left<X\right>=-6E(S)=<S>=<5X1+4X2+3X3>=5<X1>+4<X2>+3<X3>=12<X>=36E(S)=\left<S\right>=\left<5X_1+4X_2+3X_3\right>=5\left<X_1\right>+4\left<X_2\right>+3\left<X_3\right>=12\left<X\right>=36E(SD)=<(5X1+4X2+3X3)(5X14X23X3)>E(S\cdot D)=\left<(5X_1+4X_2+3X_3)\cdot(5X_1-4X_2-3X_3)\right>E(SD)=<(5X1=a+(4X2+3X3)=b)(5X1=a(4X2+3X3)=b)>\phantom{E(S\cdot D)}=\left<(\underbrace{5X_1}_{=a}+\underbrace{(4X_2+3X_3)}_{=b})\cdot(\underbrace{5X_1}_{=a}-\underbrace{(4X_2+3X_3)}_{=b})\right>E(SD)=<(5X1)2=a2(4X2+3X3)2=b2>\phantom{E(S\cdot D)}=\left<\underbrace{(5X_1)^2}_{=a^2}-\underbrace{(4X_2+3X_3)^2}_{=b^2}\right>E(SD)=<25X12(16X22+24X2X3+9X32)>\phantom{E(S\cdot D)}=\left<25X_1^2-(16X_2^2+24X_2X_3+9X_3^2)\right>E(SD)=25<X12>16<X22>24<X2X3>9<X32>\phantom{E(S\cdot D)}=25\left<X_1^2\right>-16\left<X_2^2\right>-24\left<X_2X_3\right>-9\left<X^2_3\right>E(SD)=25<X2>16<X2>24<X2><X3>9<X2>\phantom{E(S\cdot D)}=25\left<X^2\right>-16\left<X^2\right>-24\left<X_2\right>\left<X_3\right>-9\left<X^2\right>E(SD)=24<X2><X3>=24<X><X>=2433=216\phantom{E(S\cdot D)}=-24\left<X_2\right>\left<X_3\right>=-24\left<X\right>\left<X\right>=-24\cdot3\cdot3=-216

Die Kovarianz ist also:Cov(S;D)=E(SD)E(S)E(D)=21636(6)=0\operatorname{Cov}(S;D)=E(S\cdot D)-E(S)\cdot E(D)=-216-36\cdot(-6)=0

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