Aufgabe 2.32 Wir werfen einen fairen 5-seitigen Würfel 3-mal hintereinander. Die Seiten des Würfels seien mit 1,2,…,5 beschriftet. Das Ergebnis des i-ten Wurfes werde durch die Zufallsvariable Xi(i=1,2,3) beschrieben.
Definiert seien weiterhin die Zufallsvariablen
S : =5X1+4X2+3X3 und D : =5X1−4X2−3X3
(c) Bestimmen Sie Cov(S,D).
Lösung zu c)
(c) Cov(S,D)=E(SD)−E(S)⋅E(D),E(S)=5⋅3+4⋅3+3⋅3=36,E(D)=−6
E(SD)=E(25X12−16X22−24X2X3−9X32)=(25−16−9)⋅E(Xi2)−24⋅E(X2X3)
=0⋅11−24⋅9=−216
⇒Cov(S,D)=−216−(36⋅(−6))=−216+216=0
Problem/Ansatz:
Ich verstehe nicht warum, bei der Berechnung des Erwartungswertes von der Zufallsvariable S für X1,X2,X3 der Wert 3 hergenommen wird. Kommt der Wert 3 von E(Xi) = 3, wenn ja, warum wird der E(Xi) für X1,X2,X3 eingesetzt?
Außerdem verstehe ich nicht, woher -24X2X3 hergenommen wird?