Bestimmen Sie Cov(S,D)

Question

Aufgabe 2.32 Wir werfen einen fairen 5-seitigen Würfel 3-mal hintereinander. Die Seiten des Würfels seien mit \( 1,2, \ldots, 5 \) beschriftet. Das Ergebnis des \( i \)-ten Wurfes werde durch die Zufallsvariable \( X_{i}(i=1,2,3) \) beschrieben.
Definiert seien weiterhin die Zufallsvariablen
\( S:=5 X_{1}+4 X_{2}+3 X_{3} \text { und } D:=5 X_{1}-4 X_{2}-3 X_{3} \)

(c) Bestimmen Sie \( \operatorname{Cov}(S, D) \).

Lösung zu c)

(c) \( \operatorname{Cov}(S, D)=E(S D)-E(S) \cdot E(D), E(S)=5 \cdot 3+4 \cdot 3+3 \cdot 3=36, E(D)=-6 \)
\( E(S D)=E\left(25 X_{1}^{2}-16 X_{2}^{2}-24 X_{2} X_{3}-9 X_{3}^{2}\right)=(25-16-9) \cdot E\left(X_{i}^{2}\right)-24 \cdot E\left(X_{2} X_{3}\right) \)
\( \quad=0 \cdot 11-24 \cdot 9=-216 \)
\( \Rightarrow \operatorname{Cov}(S, D)=-216-(36 \cdot(-6))=-216+216=0 \)

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht warum, bei der Berechnung des Erwartungswertes von der Zufallsvariable S für X₁,X₂,X₃ der Wert 3 hergenommen wird. Kommt der Wert 3 von E(X_i) = 3, wenn ja, warum wird der E(X_i) für X₁,X₂,X₃ eingesetzt?

Außerdem verstehe ich nicht, woher -24X₂X₃ hergenommen wird?

Answer 1

Aloha :)

Für den Wurf mit einem Würfel ist der Erwartungswert$$\left<X\right>=\frac15\left(1+2+3+4+5\right)=3$$$$\left<X^2\right>=\frac15\left(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2\right)=11$$Da die vorigen Würfe nicht das Ergebnis des aktuellen Wurfs beeinflussen, sind \(X_1\), \(X_2\) und \(X_3\) unabhängig, das heißt die berechneten Mittelwerte gelten für jeden der 3 Versuche.

Da der Erwartungswert ist linear, daher gilt:$$E(D)=\left<D\right>=\left<5X_1-4X_2-3X_3\right>=5\left<X_1\right>-4\left<X_2\right>-3\left<X_3\right>=-2\left<X\right>=-6$$$$E(S)=\left<S\right>=\left<5X_1+4X_2+3X_3\right>=5\left<X_1\right>+4\left<X_2\right>+3\left<X_3\right>=12\left<X\right>=36$$$$E(S\cdot D)=\left<(5X_1+4X_2+3X_3)\cdot(5X_1-4X_2-3X_3)\right>$$$$\phantom{E(S\cdot D)}=\left<(\underbrace{5X_1}_{=a}+\underbrace{(4X_2+3X_3)}_{=b})\cdot(\underbrace{5X_1}_{=a}-\underbrace{(4X_2+3X_3)}_{=b})\right>$$$$\phantom{E(S\cdot D)}=\left<\underbrace{(5X_1)^2}_{=a^2}-\underbrace{(4X_2+3X_3)^2}_{=b^2}\right>$$$$\phantom{E(S\cdot D)}=\left<25X_1^2-(16X_2^2+24X_2X_3+9X_3^2)\right>$$$$\phantom{E(S\cdot D)}=25\left<X_1^2\right>-16\left<X_2^2\right>-24\left<X_2X_3\right>-9\left<X^2_3\right>$$$$\phantom{E(S\cdot D)}=25\left<X^2\right>-16\left<X^2\right>-24\left<X_2\right>\left<X_3\right>-9\left<X^2\right>$$$$\phantom{E(S\cdot D)}=-24\left<X_2\right>\left<X_3\right>=-24\left<X\right>\left<X\right>=-24\cdot3\cdot3=-216$$

Die Kovarianz ist also:$$\operatorname{Cov}(S;D)=E(S\cdot D)-E(S)\cdot E(D)=-216-36\cdot(-6)=0$$