Aloha :)
Wir bestimmen zunächst den Gradienten und die Hesse-Matrix der Funktion:$$f(x;y)=e^{xy}+x^2+\lambda y^2$$$$\operatorname{grad}f(x;y)=\begin{pmatrix}ye^{xy}+2x\\xe^{xy}+2\lambda y\end{pmatrix}\quad;\quad H(x;y)=\begin{pmatrix}y^2e^{xy}+2 & e^{xy}(1+xy)\\e^{xy}(1+xy) & x^2e^{xy}+2\lambda\end{pmatrix}$$
zu a) Wir untersuchen den Punkt \((0;0)\) für \(\lambda\ge\frac14\)$$\operatorname{grad}f(0;0)=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\quad;\quad H(0;0)=\begin{pmatrix}2 & 1\\1 & 2\lambda\end{pmatrix}$$Der Gradient ist Null, also liegt bei \((0;0)\) ein kritischer Punkt.
Die Hauptminoren der Hesse-Matrix sind \(2\) und \((4\lambda-1)\). Für \(\lambda>\frac14\) sind beide positiv, sodass die Hesse-Matrix positiv definit ist.
Für \(\lambda>\frac14\) liegt bei \((0;0)\) also ein lokales Minimum vor.\(\quad\checkmark\)
Für \(\lambda=\frac14\) ist die Hesse-Matrix positiv semidefinit, sodass mit ihrer Hilfe keine Aussage über die Art des kritischen Punktes \((0;0)\) möglich ist. Wir können in diesem Sonderfall jedoch die Funktion abschätzen. Dazu nutzen wir, dass \(e^x\ge1+x\) für alle \(x\in\mathbb R\) gilt:$$f(x;y)\stackrel{\left(\lambda=\frac14\right)}{=}e^{xy}+x^2+\frac{y^2}{4}\ge(1+xy)+x^2+\frac{y^2}{4}=1+\left(x^2+xy+\frac{y^2}{4}\right)$$$$\phantom{f(x;y)}=1+\left(x+\frac y2\right)^2\ge1=f(0;0)$$Für den Fall \(\lambda=\frac14\) liegt bei \((0;0)\) also sogar das globale Minimum vor.\(\quad\checkmark\)
zu b) Sei nun \(\lambda\in\left(0\,;\frac14\right)\).
Für den Punkt \((0;0)\) können wir aus Teil (a) direkt ableiten, dass die Hesse-Matrix indefinit ist, weil der erste Hauptminor \(2\) postitiv und der zweite Hauptminor \((4\lambda-1)\) negativ ist.
Daher liegt in diesem Fall bei \((0;0)\) ein Sattelpunkt vor\(\quad\checkmark\)
Zur Prüfung des Punktes \(P\left(\mp\sqrt{\lambda}\,\alpha\,;\;\pm\alpha\right)\) mit \(\alpha^2=-\frac{\log(2\sqrt\lambda)}{\sqrt\lambda}\) musst du nun auf dieselbe Weise verfahren wie bei Teil (a).
- Einsetzen des Punktes \(P\) in den Gradienten und zeigen, dass dieser verschwindet.
- Einsetzen des Punktes \(P\) in die Hesse-Matrix und zeigen, dass diese positiv definit ist.
Den Spaß daran möchte ich dir aber nicht nehmen, es sind ja deine Hausaufgaben ... ;)
