Länge des Streckenzugs auf Einheitskreis (Analysis)

Question

Wir haben eine Summe gegeben:

\( \sum\limits_{k=0}^{n-1}{e^{i(k+1)x/n} - e^{ikx/n}} \)

Deren Grenzwerte für gegen unendlich sollen wir zeigen. Da gerade sin und cos Thema sind, hast das wohl damit was zu tun.

Ich habe dazu auch andere Beiträge gefunden um es mir geometrisch vorzustellen, aber da waren die Grenzen anders und das konnte ich dann nicht übertragen.

Wahrscheinlich  sind einfach nur clevere Umformungen nötig?

Bin dankbar für Hilfe :)

Answer 1

Hallo,

Wahrscheinlich sind einfach nur clevere Umformungen nötig?

Ja - z.B.: $$e^{i\varphi} = \cos(\varphi) + i\sin(\varphi)\\ |a + ib| = \sqrt{a^2 + b^2}\\ \cos(\varphi)^2 + \sin(\varphi)^2 = 1 \\ \sqrt{\frac{1-\cos(\varphi)}{2}} = \sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)$$und die Additionstheoreme; das sollte dann reichen. Der Rest ist jetzt 'nur noch' Übung im Umformen von algebraischen Ausdrücken ....$$\phantom{=}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left|{e^{i(k+1)x/n} - e^{ikx/n}}\right| \\ = \sum\limits_{k=0}^{n-1} \left|\cos\left(\frac{(k+1)x}n\right) + i\sin\left(\frac{(k+1)x}n\right) - \cos\left(\frac{kx}n\right) - i\sin\left(\frac{kx}n\right)\right|\\ = \sum\limits_{k=0}^{n-1} \left|\cos\left(\frac{kx}n\right)\cos\left(\frac{x}n\right) - \sin\left(\frac{kx}n\right)\sin\left(\frac{x}n\right) + i\left(\sin\left(\frac{kx}n\right)\cos\left(\frac{x}n\right)+ \cos\left(\frac{kx}n\right)\sin\left(\frac{x}n\right)\right) - \cos\left(\frac{kx}n\right) - i\sin\left(\frac{kx}n\right)\right|\\ = \sum\limits_{k=0}^{n-1} \left|\cos\left(\frac{kx}n\right)\left(\cos\left(\frac{x}n\right)-1\right) - \sin\left(\frac{kx}n\right)\sin\left(\frac{x}n\right) + i\left(\sin\left(\frac{kx}n\right)\left(\cos\left(\frac{x}n\right)-1\right)+ \cos\left(\frac{kx}n\right)\sin\left(\frac{x}n\right)\right)\right|\\ = \sum\limits_{k=0}^{n-1} \sqrt{\left(\cos\left(\frac{x}n\right)-1\right)^2 + \sin\left(\frac{x}n\right)^2}\\ = n\sqrt{2-2\cos\left(\frac{x}n\right)} \\ = 2n \sqrt{\frac{1-\cos\left(\frac{x}n\right)}2} \\ = 2n \sin\left(\frac{x}{2n}\right) $$Und wenn man nun für den Sinus seine Reihenentwicklung einsetzt, ist der Rest geschenkt.

Gruß Werner

Comments

Evtl. langt auch bereits der Hinweis das der Sinus für sehr kleine Winkel mit seinem Argument übereinstimmt.

Aber das erkennt man auch an der Reihenentwicklung

SIN(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...

---

Für \(x\neq 0\) hat man$$2n\sin(\frac{x}{2n})=x\cdot \frac{2n}{x}\cdot \sin(\frac{x}{2n})=\\=x\cdot\frac{\sin(\frac{x}{2n})}{(\frac{x}{2n})}\rightarrow x\cdot 1=x$$für \(n\rightarrow\infty\)

---

Woher kommen plötzlich die Betragsstriche?

Ohne Betragsstriche wäre es keine Streckenlänge auf dem Einheitskreis.Siehe Überschrift und Anmerkung vom Mathecoach.

---

Danke,Werner!
Habe meinen Kommentar abgeändert.

---

Deren Grenzwerte für gegen unendlich sollen wir zeigen.

das steht da ja auch noch!

Lässt man die Betragsstriche in der Summe weg, so wäre der Ausdruck nicht mehr von \(n\) abhängig! Also ist dann (z.B. \(n=1\))$$\left|\sum\limits_{k=0}^{n-1}{e^{i(k+1)x/n} - e^{ikx/n}}\right| = 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)$$siehe Kreissehne.

Answer 2

1. Fehlen in der Formel evtl. Betragsstriche in der Summe. Dort wird doch die differenz zeier komplexer Zahlen gebildet. Wenn es um die Länge geht würde ich dort den Betrag erwarten.

2. Kannst du es dir für n = 2^2 = 4 und x = pi vielleicht einfach mal zeichnen.

3. Überlege also jetzt welche Strecke die Summe für ein bestimmtes x und n gegen unendlich ausdrückt.

4. Tipp: In der Überschrift deiner Frage geht es doch bereits um eine Streckenlänge auf dem Einheitskreis. Vermutlich brauchst du dann nur zeigen, wie man diese Strecke elementargeometrisch ausrechnet.

Comments

Und wie würde ich da vorgehen? Ein Bild habe ich bereits, das hilft mit aber leider nicht…