Probleme bei einer Partialbruchzerlegung von n/[(n+1)*(n+k)]

Question

n,k sind beliebige natürliche Zahlen

Partialbruchzerlegung:

n/[(n+1)*(n+k)]=a/(n+1)+b/(n+k) → n=a*(n+k)+b*(n+1) → a= [n-b*(n+1)]/(n+k)

Darf ich jetzt b∈ℝ beliebig wählen, weil ich nur eine Gleichung für zwei Variablen habe? Dann könnte ich ja auch b=n/(n+1) setzen, aber dann wird die Partialbruchzerlegung völlig sinnlos, weil a=0 gelten würde.

Meien Aufgabe ist es a und b zu bestimmen.

Answer 1

$$n=a\cdot(n+k)+b\cdot(n+1)$$ Mit \(n=-k\) folgt $$-k=b\cdot(-k+1)$$ und daraus $$b=\dfrac{k}{k-1}.$$ Auf ähnliche Weise lässt sich auch \(a\) ausrechnen.

Comments

Beachte n,k sind beliebige natürliche Zahlen

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Ich dachte, das hätte ich gemacht. Insgesamt erhalte ich: $$\dfrac{n}{(n+1)\cdot(n+k)}=\dfrac{\quad\dfrac{1}{1-k}\quad}{n+1} + \dfrac{\quad\dfrac{k}{k-1}\quad}{n+k}$$Nun sehe ich, dass in dieser Zerlegung die zusätzliche Einschränkung \(k\ne 1\) gelten muss. Für den Fall \(k=1\) bekomme ich $$\dfrac{n}{(n+1)^2}=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{(n+1)^2}$$Gibt es auch eine Darstellung ohne Fallunterscheidung hin? Müssen weitere Fallunterscheidungen her?