Bestimme alle x∈ℤ2 mit 28x1 + 49x2 = 14

Question

Aufgabe: Bestimme alle x∈ℤ² mit 28x₁ + 49x₂ = 14

Problem/Ansatz: Ich habe mir überlegt, ob die Smithsche Normalform zur Lösung beitragen könnte, aber habe das Lösen nicht geschafft...

Danke schonmal für eure Hilfe. Lg

Answer 1

Teile durch 7, dann hast du:

4x1 + 7x2 = 2.

Wegen ggT(4;7)=1 erhältst du mit dem erweiterten euklidischen

Alg. alle x1,x2 mit 4x1 + 7x2 = 1

Wenn du alle x1, x2 verdoppelst, hast du die Lösung.

Answer 2

Ich orientiere mich an mathef:

Um eine ganzzahlige Lösung \((x,y)\) von \(4x+7y=1\) zu finden,

ist man mit "intensivem Hingucken" schneller am Ziel als

mit einem aufwendigen Algorithmus (ist natürlich Geschmackssache):

\((2,-1)\) fiel mir ins Auge, bietet sich wegen

\(4x\equiv 1\) mod \(7\), also \(x\equiv 2\) mod \(7\) ja auch an,

also \(x=2+7k\) und \(y=(1-4x)/7=-1-4k\).

Damit ist die Menge der Lösungen

\(\{2\cdot(2+7k,-1-4k)\; | \;k\in \mathbb{Z}\}\).