Berechnen Sie die Werte der Integrale

Question

Gegeben sei die \( 2 \pi \)-periodische Funktion \( f \) mit
\( f(t)=\left\{\begin{aligned} 2 & \text { für } t \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup\left[\frac{3 \pi}{2}, 2 \pi\right), \\ -1 & \text { für } t \in\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right) . \end{aligned}\right. \)
Berechnen Sie die Werte der Integrale \( c_{k}(f)=\frac{1}{2 \pi} \int \limits_{0}^{2 \pi} f(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} k t} \mathrm{~d} t \) für \( k \in \mathbb{Z} \).
Bemerkung: In Ihren Darstellungen der \( c_{k}(f) \) dürfen Terme der Form \( \mathrm{e}^{\mathrm{i} \pi k / 2}, \mathrm{e}^{3 \mathrm{i} \pi k / 2} \) ohne Vereinfachung vorkommen.

Problem/Ansatz:

Berechnung

Answer 1

Hallo

da f(t) stückweise definiert ist und da konstant , musst du eben das einfache Integral in die 3 Teile teilen und die 3 addieren  e^-ikt zu integrieren kann dir ja wohl nicht schwer fallen?

Gruß lul

Comments

kannst du mir den ersten schritt vielleicht zeigen?

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ich würde mich per PayPal bedanken falls du mir weiterhelfen könntest

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$$1/2\pi(\int \limits_{0}^{\pi/2}2*e^{-ikt}dt-\int \limits_{\pi/2}^{3\pi/2}e^{-ikt}dt+\int \limits_{3\pi/2}^{2\pi}2*e^{-ikt}dt)$$

das erste Integral $$\int \limits_{0}^{\pi/2}2*e^{-ikt}dt=2i/k*(e^{-i\pi/2*k}-1)$$

entsprechend die 2 anderen .

Gruß lul

wir helfen hier ohne Bezahlung

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Besten Dank dir