Transformationsmatrix die Punkte an Ebene spiegelt

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie eine Transformationsmatrix M, die einen beliebigen Punkt an der Ebene spiegelt, die als Normalenvektor einen Vektor in Richtung n=(1,1,0) besitzt und durch den Punkt p=(1,1,1) geht.

Problem/Ansatz:

1. Ich habe zunächst eine Ebenengleichung der Form ax + by + cz = d mithilfe von n berechnet:

=> 1x + 1y + 0z = d

=> x + y = d

2. Danach habe ich d mithilfe von p bestimmt:

=> 1 + 1 = d

=> 2 = d

3. Ich muss jetzt eine 3x3 Transformationsmatrix angeben und habe 9 Unbekannte:

 $$ \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} $$

Ich kann n und p verwenden um 6 Unbekannte zu lösen, also brauche ich noch einen Punkt.

Ich wähle t=(0, 2, 0) und prüfe indem ich den Punkt in x + y = 2 einsetze.

0 + 2 = 2 ☺

4. Ich muss jetzt die Unbekannten lösen.

Ich habe folgende Punkte zur Verfügung:

n = (1, 1, 0) → Umdrehen weil Vektor → (-1, -1, 0)

p = (1, 1, 1)

t  = (0,2,0)

Ehrlicherweise habe ich ab jetzt keine Ahnung mehr wie ich die Gleichungssysteme aufstellen kann.

Kann mir jemand helfen?

Answer 1

Aloha :)

Die Ebenengleichung lautet in Koordinatenform:$$\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\quad\implies\quad x+y=2$$

Wir wissen, dass der Ankerpunkt \(P(1;1;1)\) in der Ebene liegt und daher bei der Spiegelung liegen bleibt. Wir wissen durch die Koordinatengleichung von oben auch, dass der Punkt \(Q(0;2;0)\) in der Ebene liegt und bei der Spiegelung ebenfalls liegen bleibt. Zustäzlich wissen wir, dass der Normalenvektor \(\vec n=(1;1;0)\) der Ebene durch Spiegelung negiert wird, also auf \((-1;-1;0)\) abgebildet wird.

Bis dahin ist deine Vorgehensweise völlig nachvollziehbar...\(\quad\checkmark\)

Du weiß also, wie die Transformationsmatrix \(A\) auf drei Eingangswerte wirkt:$$A\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\quad;\quad A\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\quad;\quad A\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-1\\0\end{pmatrix}$$Das können wir zu einer Matrix-Gleichung zusammenfassen:$$A\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1\\1 & 2 & 1\\1 & 0 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & -1\\1 & 2 & -1\\1 & 0 & 0\end{array}\right)$$

Diese Gleichung kannst du nach \(A\) umstellen:$$A=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & -1\\1 & 2 & -1\\1 & 0 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1\\1 & 2 & 1\\1 & 0 & 0\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & -1\\1 & 2 & -1\\1 & 0 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & 1\\-\frac12 & \frac12 & 0\\1 & 0 & -1\end{array}\right)$$$$A=\left(\begin{array}{rrr}-1 & 0 & 2\\-2 & 1 & 2\\0 & 0 & 1\end{array}\right)$$

Comments

Herzlichen Danke für deine Mühe! Das hat sehr geholfen.

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Die Antwort ist falsch! Wenn (0,2,0) ein Punkt der Spiegelebene ist, so ist (2,0,0) ebenfalls ein Punkt in dieser Ebene. Und letzterer wird nicht auf sich selbst abgebildet!

Die Spiegelebene x+y=2 ist keine Ursprungsebene, und deshalb ist die gesuchte Abbildung in 3D auch keine lineare Abbildung.

Es gibt also keine Matrix \(M\in\mathbb R^{3\times 3}\), die diese Anforderung erfüllt.

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Die affine Abbildung $$P' = \left( \underline 1 - \frac {2 \vec{n} \vec{n}^T}{|\vec{n}|^2} \right) P + \frac {2 d \vec n}{|\vec{n}|^2}$$spiegelt einen Punkt \(P\) an der Ebene$$\vec n^T\vec x = d$$wenn man zu homogenen Koordinaten übergeht, kann man daraus eine lineare Abbildung mit \(M\in\mathbb R^{4\times 4}\) machen.

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Könnt ihr noch was dazu sagen?

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Könnt ihr noch was dazu sagen?

Ja gerne - was möchtest Du denn noch wissen?

als \(M \in\mathbb R^{4\times 4}\) sähe das Ergebnis so aus: $$M = \begin{pmatrix}0& -1& 0& 2\\ -1& 0& 0& 2\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{pmatrix}$$Wenn Du einen Punkt in 3D multiplizieren möchtest, so hänge erst als vierte (homogene) Koordinate eine 1 dran und multipliziere dann mit \(M\). Jeder Punkt, der die Gleichung $$x+y=2$$ erfüllt, wird dabei auf sich selbst abgebildet.

Tschakabumba hat dazu leider keine Stellung bezogen :-/

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mache Dir ein Bild von beiden Lösungen:

dies hier ist die 'Spiegelung' mittels \(A\) und hier kommst Du zur Ansicht der Spiegelung mit \(M\in\mathbb R^{4\times 4}\). Die Punkte \(P\) und \(Q\) werden in beiden Fällen auf sich selbst abgebildet.

Nur der Normalenvektor \((1|\,1|\,0)\) steht nicht senkrecht auf der Spiegelebene von \(A\), d.h. hier handelt es sich um eine Schrägspiegelung. Und bei anderen Punkten (wie z.B. \(X\)) sieht man den Unterschied.

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Ich kann soweit folgen.

Und wie kommst Du rechnerisch auf die Matrix?

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Und wie kommst Du rechnerisch auf die Matrix?

steht doch oben in meinem Kommentar vom 10.Juli. Die Werte$$\vec n = \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}, \quad d = 2$$sind gegeben. Das setzt man ein in$$P' = \left( \underline 1 - \frac {2 \vec{n} \vec{n}^T}{|\vec{n}|^2} \right) P + \frac {2 d \vec n}{|\vec{n}|^2}$$Und daraus stellt man sich das \(M\) so zusammen, so dass folgendes gilt$$\begin{pmatrix} P'\\ 1\end{pmatrix} = M \cdot \begin{pmatrix}P\\ 1\end{pmatrix}$$also so:$$M = \left(\begin{array}{c|c} \underline 1 - \frac {2}{|\vec{n}|^2}\vec{n} \vec{n}^T& \frac {2}{|\vec{n}|^2} d \vec n\\\hline \begin{array}{}0& 0& 0\end{array}& 1 \end{array}\right)$$Hinweis:$$\vec n\vec n^T = \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1& 1& 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1& 1& 0\\ 1& 1& 0\\0& 0& 0 \end{pmatrix}$$

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Ah okay, was ist denn P? Ein Punkt der auf der Ebene liegt?

Vielen Dank schon mal!

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was ist denn P? Ein Punkt der auf der Ebene liegt?

Nein - \(P\) ist irgendein Punkt im Raum (3D), der an der Ebene gespiegelt wird. Und das Ergebnis der Multiplikation von \(M\) mit \(\begin{pmatrix}P& 1\end{pmatrix}^T\) liefert dann die Koordinaten des gespiegelten Punktes \(P'\).

So wie das \(X\) hier zu \(X'\) wird. Zur Unterscheidung: der Punkt \(p\) (klein geschrieben) aus der Aufgabenstellung ist der, der die Spiegelebene definiert; bzw. genauer, deren Abstand zum Ursprung.

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Danke, du hast mir auf jeden Fall schon mal weiter geholfen.

Kannst Du mir sagen wie das Verfahren was du da nutzt heisst?

Ich habe jetzt begriffen dass meine Ebene nicht durch den Ursprung geht und ich deswegen deinen Lösungsansatz benutzen muss.

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Kannst Du mir sagen wie das Verfahren was du da nutzt heisst?

Ich nenne es

"Spiegelung an einer Ebene im Raum durch eine lineare Abbildung mittels homogener Koordinaten"

Wenn Du danach im I-Net suchst, ist das Ergebnis aber relativ dünn. Ich würde am ehesten noch dieses Video empfehlen (Vorlesung!). Ich habe das selber nicht gesehen, es ist aber von Professor Weitz von der HAW Medientechnik, und der kann ziemlich gut erklären ;-)

https://www.youtube.com/watch?v=SS4Onq2rSLQ