Bestimmung von b in symmetrischer Matrize

Question

Sei \( A=\left(\begin{array}{ll}a & 3 \\ 3 & 8\end{array}\right) \) mit \( a \in \mathbb{R} \). Es gilt:
\( A \) ist genau dann positiv definit, wenn \( a>\frac{9}{b} \) erfüllt ist.
Geben Sie \( b \in \mathbb{Z} \) an.

Answer 1

A ist symmetrisch, also genau dann pos. definit

wenn alle Eigenwerte pos. sind.

Diese sind λ_1,2 =( a+8 ±√(a^2 - 16a + 100))/2

Beide pos. wenn  a+8 > √(a^2 - 16a + 100)

<=>   32a > 36    <=>    a >  36/32 = 9/8, also b=8.

Answer 2

Damit es auch eine Alternative gibt:

Die zu der Matrix gehörige quadratische Form ist

\(q=ax^2+6xy+8y^2\). Diese ist positiv definit genau dann,

wenn \(8q\) positiv definit ist. Man hat

\(8q=8ax^2+48xy+64y^2=8ax^2+6x(8y)+(8y)^2=\)

quadr. Ergänzung: \(=8ax^2+(3x+8y)^2-9x^2=(8a-9)x^2+(3x+8y)^2\).

Dies ist pos. definit genau dann, wenn \(8a-9>0\).

Comments

Eine weitere kürzere Alternative:
\(A\) ist genau dann positiv definit, wenn \(a>0\) und \(\det A>0\), also wenn \(8a>9\) ist.