Für welche a ist B=I_{4}+a 1_{4} 1_{4}^{T} nichtnegativ definit?

Question

Aufgabe:

Für welche \( a \in \mathbb{R} \) ist \( B=I_{4}+a 1_{4} 1_{4}^{T} \) nichtnegativ definit?

Problem/Ansatz:

Habe erstmal y^T*B*y berechnet

\( =y^{T}\left(I_{4}+a 1_{4} 1^T_{4}\right) \cdot y \)
\( =y^{\top} \cdot I_{4} \cdot y+a \cdot y^{\top} \cdot 1_{4} \cdot 1_{4}^{T} \cdot y \)

= \( \sum\limits_{n=1}^{4}{yi^{2} }\)+ a*(\( \sum\limits_{n=1}^{4}{yi} \))^2

Wenn man den Vektor y=(z,z,z,z)^T (z nicht null) einsetzt und umformt, kommt man auf die Gleichung

\( 4z^{2} \) (1+4a)>=0 |:4z

1+4a>=0, also a>=-1/4

Stimmt meine Rechnung bzw. meine Überlegung?

Comments

Wenn wieder 1₄ = (1,1,1,1)^T sein soll, dann ist 1 ein dreifacher Eigenwert und der vierte lautet 4a+1.

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Ja, ist es, aber worauf möchtest du hinaus?

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Wenn alle Eigenwerte nichtnegativ sind, ist die Matrix nichtnegativ definit.

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Das gilt also für alle a?

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Nein. Es muss 4a+1 ≥ 0 sein.

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Also a>=-1/4, also so, wie ich es beschrieben habe?

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Das Resultat stimmt, aber du kannst dich nicht auf Vektoren der Form y=(z,z,z,z)^T beschränken.

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Wenn aber z eine beliebige Zahl ist, bzw. y ein beliebier vektor ist, dann gilt das doch für alle a, oder nicht?

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Dein Ergebnis für y^TBy scheint richtig zu sein, falls du das meinst.

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Ich meinte auch meine rechnung, da du meinst, dass ich micht nicht nur auf den vektor y=(z,z,z,z)^T beschränken soll. Ist aber y nicht ein beliebiger Vektor?

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Was ist ein \( 1_4 \)?

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Das soll der Vektor [1,1,1,1]^T sein, hätte ich wohl erwähnen sollen :(

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Erstens sollte man so etwas tatsächlich erwähnen.

Zweites ist das keine mathematisch erlaubte Schreibweise, und deshalb darfst Du es überhaupt nie verwenden.

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Diese schreibweise nutzen wir in den vorlesungen und in den klausuren, wäre seltsam, wenn mein prof eine "unerlaubte" Schreibweise nutzt...

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Du müsstest zeigen, dass \(y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2+a\cdot(y_1+y_2+y_3+y_4)^2≥0\) ganau dann für alle \(y\) gilt, wenn \(a≥-\tfrac14\) ist.

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Wie kann man mit dieser gleichung zeigen, dass a>=-1/4 ist? Durch geschicktes umformen?

Answer 1

Stimmt meine Rechnung bzw. meine Überlegung?

Außer, dass es bei der letzten Umformung | : 4z^2

heißen muss, und das ist ja nicht 0,

ist doch alles OK.

Comments

Die Rechnung mag stimmen, beantwortet die Frage aber nicht.