zeige, dass A:= {x∈ℝ : x^{4} + x -10 ≥ 0} abgeschlossen in ℝ ist.

Question

Aufgabe:

Ich soll zeigen, dass A:= {x∈ℝ : \( x^{4} \) + x -10 ≥ 0} ist abgeschlossen in ℝ.

Problem/Ansatz:

Meine Idee war folgenden Satz zu verwenden: f : ℝ -> ℝ

f ist stetig auf ℝ ⇔ Für jede abgeschlossene Menge B⊆ℝ ist \( f^{-1} \)(B)⊆ℝ abgeschlossen. Denn das Intervall (∞,Nullstelle 1] und [Nullstelle 2, ∞) sind dachte ich abgeschlossen und das Urbild der beiden Mengen müsste A sein. Aber weiß nicht, ob das so stimmt und wie ich das in einem Beweis richtig formulieren kann… oder habt ihr einen anderen Ansatz. Bin dankbar über jede Hilfe.

Answer 1

Deine Überlegung ist doch ganz richtig, nur

machst du dir die Sache zu kompliziert.

\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\; x\mapsto x^4+x-10\) ist stetig.

Es ist \(A=f^{-1}([0,\infty))\) und \([0,\infty)\) ist abgeschlossen.

Und - wie du richtig bemerkst - ist das Urbild einer abgeschlossenen

Menge bei einer stetigen Abbildung abgeschlossen:

also ist \(A\) abgeschlossen.

Comments

Danke für deine Antwort aber ich hätte eine Frage:

Wenn f(x) = x^4 + x -10 ist. Dann ist doch A ≠ f^-1([o,∞)), weil ja auch links von der y-Achse x-Werte gibt, bei denen f(x)≥0 ist. Oder habe ich da einen Denkfehler?

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Ich denke, du verstehst die Urbildabbildung falsch:

\(x\in f^{-1}([0,\infty))\iff f(x)\in [0,\infty)\).

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Oh stimmt. Ups sorry ziemlicher Denkfehler von mir. Danke jetzt ist es klar.