Aloha :)
zu a) Wir brauchen einen Ortsvektor \(\vec r\), der die ganze Fläche der Ellipse abtastet:$$\vec r=\binom{at\cos\varphi}{bt\sin\varphi}\quad;\quad t\in[0;1]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$Beim Übergang von kartesischen Koordinaten \((x;y)\) zu unseren Koordinaten \((t;\varphi)\) wird das Flächenelement \(df\) verzerrt. Das müssen wir berücksichtigen:$$df=dx\,dy=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial t} & \frac{\partial x}{\partial \varphi}\\[1ex]\frac{\partial y}{\partial t} & \frac{\partial y}{\partial \varphi}\end{array} \right|\,dt\,d\varphi=\left|\begin{array}{cc}a\cos\varphi & -at\sin\varphi\\b\sin\varphi & bt\cos\varphi\end{array}\right|\,dt\,d\varphi=abt\,dt\,d\varphi$$Die Fläche der Ellipse ist daher:$$F=\int\limits_Fdf=\int\limits_{t=0}^1\,\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}abt\,dt\,d\varphi=\int\limits_{t=0}^1\left[abt\varphi\right]_{\varphi=0}^{2\pi}dt=\int\limits_{t=0}^12\pi abt\,dt=\left[2\pi ab\,\frac{t^2}{2}\right]_{t=0}^1=\pi ab$$
zu b) Wir halten bei unserem Ortsvektor \(t=1\) fest, um den Rand der Ellipse abzutasten:$$\vec r=\binom{a\cos\varphi}{b\sin\varphi}\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$
Der Umfang der Ellipse ist daher:$$L=\int\limits_{\vec r(0)}^{\vec r(2\pi)}\left\|d\vec r\right\|=\int\limits_0^{2\pi}\left\|\frac{d\vec r}{d\varphi}\right\|\,d\varphi=\int\limits_0^{2\pi}\left\|\binom{-a\sin\varphi}{b\cos\varphi}\right\|\,d\varphi=\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{a^2\sin^2\varphi+b^2\cos^2\varphi}\,d\varphi$$
