0 Daumen
269 Aufrufe

Aufgabe:

Gegeben sei die Ellipse x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 mit a,b >0 Es soll der Flächeninhalt und das Volumen des Rotationsellipsoid berchent werden


Problem/Ansatz:

Avatar von

Und was davon kannst Du nicht?

A = π*a*b

1 Antwort

0 Daumen

Flächeninhalt: obere "Hälfte" der Ellipse ist der Funktionsgraph zu

\(   f(x) = \frac{b}{a} \cdot \sqrt{a^2-x^2} \)

Und es sind ja a und b positiv, also betrachte das Integral von -a bis a :

\(  \int\limits_{-a}^a \frac{b}{a}\cdot \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{b}{a}\cdot  \int\limits_{-a}^a \sqrt{a^2-x^2} dx \)

Und es ist \(  \int\limits_{-a}^a \sqrt{a^2-x^2} dx= [\frac{a^2}{2}\cdot \arcsin(\frac{x}{a})+ \frac{x}{2}\cdot \sqrt{a^2-x^2}]_{-a}^a =\frac{a^2}{2}\cdot \pi\)

Mit dem Faktor \(  \frac{b}{a} \) davor gibt es für die halbe Ellipse \(  \frac{ab\pi}{2} \).

Für die ganze Ellipse also A =  \( ab\pi \).

Und das Volumen des Drehkörpers: \(  V = \pi \cdot \int \limits_{-a}^a f(x)^2 dx \)

Gibt   \(  V = \pi \cdot \int \limits_{-a}^a f(x)^2 dx = \pi \cdot \int \limits_{-a}^a \frac{b^2}{a^2} \cdot (a^2-x^2)  dx\)

\( = \pi \cdot \int \limits_{-a}^a  (b^2- \frac{b^2}{a^2} x^2)  dx =  \frac{4}{3}ab^2\pi \).

Avatar von 289 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community