Flächeninhalt einer Ellipse

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Ellipse x²/a² + y²/b² = 1 mit a,b >0 Es soll der Flächeninhalt und das Volumen des Rotationsellipsoid berchent werden

Problem/Ansatz:

Comments

Und was davon kannst Du nicht?

A = π*a*b

Answer 1

Flächeninhalt: obere "Hälfte" der Ellipse ist der Funktionsgraph zu

$f(x) = \frac{b}{a} \cdot \sqrt{a^2-x^2}$

Und es sind ja a und b positiv, also betrachte das Integral von -a bis a :

$\int\limits_{-a}^a \frac{b}{a}\cdot \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{b}{a}\cdot \int\limits_{-a}^a \sqrt{a^2-x^2} dx$

Und es ist $\int\limits_{-a}^a \sqrt{a^2-x^2} dx= [\frac{a^2}{2}\cdot \arcsin(\frac{x}{a})+ \frac{x}{2}\cdot \sqrt{a^2-x^2}]_{-a}^a =\frac{a^2}{2}\cdot \pi$

Mit dem Faktor $\frac{b}{a}$ davor gibt es für die halbe Ellipse $\frac{ab\pi}{2}$.

Für die ganze Ellipse also A =  $ab\pi$.

Und das Volumen des Drehkörpers: $V = \pi \cdot \int \limits_{-a}^a f(x)^2 dx$

Gibt   $V = \pi \cdot \int \limits_{-a}^a f(x)^2 dx = \pi \cdot \int \limits_{-a}^a \frac{b^2}{a^2} \cdot (a^2-x^2) dx$

$= \pi \cdot \int \limits_{-a}^a (b^2- \frac{b^2}{a^2} x^2) dx = \frac{4}{3}ab^2\pi$.