Flächeninhalt: obere "Hälfte" der Ellipse ist der Funktionsgraph zu
\( f(x) = \frac{b}{a} \cdot \sqrt{a^2-x^2} \)
Und es sind ja a und b positiv, also betrachte das Integral von -a bis a :
\( \int\limits_{-a}^a \frac{b}{a}\cdot \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{b}{a}\cdot \int\limits_{-a}^a \sqrt{a^2-x^2} dx \)
Und es ist \( \int\limits_{-a}^a \sqrt{a^2-x^2} dx= [\frac{a^2}{2}\cdot \arcsin(\frac{x}{a})+ \frac{x}{2}\cdot \sqrt{a^2-x^2}]_{-a}^a =\frac{a^2}{2}\cdot \pi\)
Mit dem Faktor \( \frac{b}{a} \) davor gibt es für die halbe Ellipse \( \frac{ab\pi}{2} \).
Für die ganze Ellipse also A = \( ab\pi \).
Und das Volumen des Drehkörpers: \( V = \pi \cdot \int \limits_{-a}^a f(x)^2 dx \)
Gibt \( V = \pi \cdot \int \limits_{-a}^a f(x)^2 dx = \pi \cdot \int \limits_{-a}^a \frac{b^2}{a^2} \cdot (a^2-x^2) dx\)
\( = \pi \cdot \int \limits_{-a}^a (b^2- \frac{b^2}{a^2} x^2) dx = \frac{4}{3}ab^2\pi \).
