Zeigen Sie \boldsymbol{R}_{k+1}=\boldsymbol{R}_{k}^{2} und \boldsymbol{R}_{k} → \mathbf{0} .

Question

Aufgabe:

Aufgabe 2 .
Sei \( \boldsymbol{A} \in \mathbb{C}^{n \times n} \) mit \( \|I-A\|_{2}=: q<1 \) gegeben. Wir betrachten \( \boldsymbol{X}_{0}=\boldsymbol{I} \) und für \( k \in \mathbb{N}_{0} \) die Iteration
\( \begin{aligned} \boldsymbol{R}_{k} &=\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}_{k}, \\ \boldsymbol{X}_{k+1} &=\boldsymbol{X}_{k}\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{R}_{k}\right) . \end{aligned} \)
a) Zeigen Sie \( \boldsymbol{R}_{k+1}=\boldsymbol{R}_{k}^{2} \) und \( \boldsymbol{R}_{k} \rightarrow \mathbf{0} \).
b) Zeigen Sie, dass die Folge \( \boldsymbol{X}_{k} \) konvergent ist und berechnen Sie \( \boldsymbol{B}=\lim \limits_{k \rightarrow \infty} \boldsymbol{X}_{k} \).
c) Zeigen Sie, dass \( \boldsymbol{A} \) invertierbar ist und die Fehlerabschätzung
\( \left\|\boldsymbol{B}-\boldsymbol{X}_{k}\right\|_{2} \leq q^{\left(2^{k}\right)}\|\boldsymbol{B}\|_{2} . \)

Problem/Ansatz:

wie kann ich b) und c) zeigen?

Comments

Am besten schreibst du auf, was du bei a) schon gemacht hast, damit wir sehen, ob du die Aufgabe richtig verstanden hast...

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R_k+1=I-AX_k+1=I-A(X_k(I+R_k))=I-AX_k-AX_kR_k=R_k-(AX_kR_k)=R_k(I-AX_k)=R_k^2

und R₀=I-A und III-AII = q <= 1, also konvergiert lim q^k -> 0 und somit R_k -> 0.

Soweit a). Wie geht man nun an b) und c) ran? Also man sieht ja schon, dass B = A^-1 sein muss...

Answer 1

\( \mathrm{Ok} \), deine a) ist schonmal richtig, einzig solltest du noch

\(\begin{aligned} \left\|R^{2}\right\|_{2} \leqslant\|R\|_{2}^{2}\end{aligned} \)
in deine Argumentation mit einbauen (aufgrunder der Submultiplikativität der 2-Norm).
b) Es gilt
\(\begin{aligned} \mathbf{X}_{n}=\mathbf{X}_{n-1}\left(\mathbf{I}-\mathbf{R}_{n-1}\right)=\cdots=\prod \limits_{k=0}^{n}\left(\mathbf{I}-\mathbf{R}_{k}\right)=\prod \limits_{k=0}^{n}\left(\mathbf{I}-\mathbf{R}_{0}^{2^{k}}\right)=\prod \limits_{k=0}^{n}\left(\mathbf{I}-(\mathbf{I}-\mathbf{A})^{2^{k}}\right)\end{aligned} \)
also
\(\begin{aligned} \left\|X_{n}\right\|_{2} \leqslant \prod \limits_{k=0}^{n}\left(1+q^{2^{k}}\right) \leqslant \prod \limits_{k=0}^{\infty}\left(1+q^{2^{k}}\right)=M<\infty\end{aligned} \)
und für \( n>m \)
\( \begin{aligned} \left\|\mathbf{X}_{\mathrm{n}}-\mathbf{X}_{\mathrm{m}}\right\|_{2} &=\left\|\mathbf{X}_{\mathrm{m}} \prod \limits_{\mathrm{k}=\mathrm{m}}^{\mathrm{n}}\left(\mathbf{I}-\mathbf{R}_{0}^{2^{\mathrm{k}}}\right)-\mathbf{X}_{\mathrm{m}}\right\|_{2} \\ & \leqslant\left\|\mathbf{X}_{\mathrm{m}}\right\|_{2}\left\|\prod \limits_{\mathrm{k}=\mathrm{m}}^{\mathrm{n}}\left(\mathbf{I}-\mathbf{R}_{0}^{2^{\mathrm{k}}}\right)-\mathbf{I}\right\|_{2} \\ & \leqslant M\left\|\prod \limits_{\mathrm{k}=\mathrm{m}}^{\mathrm{n}}\left(\mathbf{I}-\mathbf{R}_{0}^{2^{\mathrm{k}}}\right)-\mathrm{I}\right\|_{2} . \end{aligned} \)
Kannst selbst zeigen, dass der zweite Term für \( m \rightarrow \infty \) gegen null strebt? Also konvergiert die Folge nach dem Cauchy Kriterium.
c) A ist invertierbar da die Reihe
\(\begin{aligned} \mathbf{S}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} S_{n}=\sum \limits_{n=0}^{\infty}(\mathbf{I}-\mathbf{A})^{\mathrm{k}}\end{aligned} \)
konvergiert (zeige dies mittels Cauchy Kriterium, vgl. geometrische Reihe) und daher
\( \begin{aligned} S_{n+1}-S_{n}=I-(I-A)^{n+1} & \Longleftrightarrow S_{n}(I-A)-S_{n}=I-(I-A)^{n+1} \\ & \Longleftrightarrow S_{n} A=I-(I-A)^{n+1} \end{aligned} \)
Da \( S_{n} \) konvergiert gilt also \( (I-A)^{n} \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0 \) und somit
\(\begin{aligned} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} S_{n} A=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} I-\lim \limits_{n \rightarrow \infty}(I-A)^{n} \Longleftrightarrow S A=I \Longleftrightarrow S=A^{-1} .\end{aligned} \)
Schaffst du den Rest alleine?

Comments

Ja! Vielen herzlichen Dank!