Berechnen Sie die Varianz von X+Y !

Question

Text erkannt:

Seien \( X, Y \) zwei Zufallsvariablen, deren gemeinsame Verteilung folgender Tabelle entnommen werden kann:
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline & & & \( Y \) & \\
\hline & & 3 & 4 & 6 \\
\hline\( X \) & 1 & \( 0.07 \) & \( 0.08 \) & \( 0.05 \) \\
\hline & 6 & \( 0.43 \) & \( 0.02 \) & \( 0.35 \) \\
\hline
\end{tabular}
Berechnen Sie die Varianz von \( X+Y \) !

Aufgabe:

Berechne die Varianz X+Y

Problem/Ansatz:

Ich verstehe die leider nicht und komme nur auf falsche Ergebnisse. Kann mir bitte jemand helfen?

Answer 1

Aloha :)

Wir erstellen uns die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsvariable \(Z\coloneqq X+Y\)

$$\begin{array}{c} & Y=3 & Y=4 & Y=6\\\hline X=1 & 0,07 & 0,08 & 0,05\\X=6 & 0,43 & 0,02 & 0,35\end{array}\quad;\quad \begin{array}{c} & Y=3 & Y=4 & Y=6\\\hline X=1 & Z=4 & Z=5 & Z=7\\X=6 & Z=9 & Z=10 & Z=12\end{array}$$Wir legen beide Tabellen im Geiste übereinander und finden:$$\begin{array}{c|rrrrrr}Z= & 4 & 5 & 7 & 9 & 10 & 12\\\hline p= & 0,07 & 0,08 & 0,05 & 0,43 & 0,02 & 0,35\end{array}$$

Damit können wir nun die Varianz \(\sigma^2_Z\) wie folgt bestimmen:$$\left<Z\right>=4\cdot0,07+5\cdot0,08+7\cdot0,05+9\cdot0,43+10\cdot0,02+12\cdot0,35=9,3$$$$\left<Z^2\right>=4^2\cdot0,07+5^2\cdot0,08+7^2\cdot0,05+9^2\cdot0,43+10^2\cdot0,02+12^2\cdot0,35=92,8$$$$\sigma_z^2=\left<Z^2\right>-\left<Z\right>^2=92,8-9,3^2=6,31$$

Die Varianz von \((X+Y)\) beträgt also \(6,31\).

Answer 2

Z = X + Y

E(Z) = 4·0.07 + 5·0.08 + 7·0.05 + 9·0.43 + 10·0.02 + 12·0.35 = 9.3

V(Z) = (4 - 9.3)^2·0.07 + (5 - 9.3)^2·0.08 + (7 - 9.3)^2·0.05 + (9 - 9.3)^2·0.43 + (10 - 9.3)^2·0.02 + (12 - 9.3)^2·0.35 = 6.31