Aloha :)
Willkomme in der Mathelounge... \o/$$F\colon(a;b)^2\to\mathbb R\,,\,(x;y)\mapsto F(x;y)=\int\limits_x^y f(t)\,dt\quad;\quad f\colon[a;b]\to\mathbb R\text{ stetig}$$
zu a) Wir bestimmen die partiellen Ableitungen von \(F\). Da die Funktion \(f\) stetig ist, ist sie auch integrierbar, eine Stammfunktion sei \(S(x)\). Dann gilt:$$\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\int\limits_{x}^yf(t)\,dt=\frac{\partial}{\partial x}\left(S(y)-S(x)\right)=-\frac{\partial S(x)}{\partial x}=-f(x)$$$$\frac{\partial F}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\int\limits_{x}^yf(t)\,dt=\frac{\partial}{\partial y}\left(S(y)-S(x)\right)=\frac{\partial S(y)}{\partial y}=f(y)$$
zu b) Die beiden partiellen Ableitungen der Funktion \(F(x;y)\) existieren und sind offenbar stetig, weil \(f\) stetig ist. Damit ist \(F\) stetig partiell differenzierbar, woraus die totale Differenzierbarkeit folgt. Das totale Differential lautet:$$dF=\frac{\partial F}{\partial x}\,dx+\frac{\partial F}{\partial y}\,dy=-f(x)\,dx+f(y)\,dy=\underbrace{\binom{-f(x)}{f(y)}}_{=\operatorname{grad}F(x;y)}\binom{dx}{dy}$$
Die Ableitung einer Funktion \(F\) meherer Veränderlicher ist die Jacobi-Matrix. Diese enthält die Gradienten aller Komponentenfunktionen als Zeilen. Da \(F\) in die reellen Zahlen \(\mathbb R\) abbildet, haben wir nur eine Komponentenfunktion und können die Jacobi-Matrix von \(F\) angeben:$$J_F(x;y)=\begin{pmatrix}-f(x) & f(y)\end{pmatrix}$$
