Da ist doch überhaupt nichts gezeigt?

Question

Aufgabe:

\( \ln \left(x^{y}\right)=y \ln x \)

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich die Gleichheit zeigen soll. Ich lade auch die Lösung hoch. Da ist doch überhaupt nichts gezeigt?? Ich habe schon überlegt es mit der E-Funktion und Potenzgesetzen zu machen, aber ich kann die Potenz ja nicht aus dem ln

Schließlich gilt \( e^{\ln \left(x^{y}\right)}=x^{y}=e^{y \ln x} \). Daraus folgt
\( \ln \left(x^{y}\right)=y \ln x . \)

Answer 1

Logarithmengesetz
Aus Potenz wird Produkt
\( \begin{array}{l} \left(a^{m}\right)^{n}=a^{m \cdot n} \\ \log _{a}\left(\left(a^{m}\right)^{n}\right)=\log _{a}\left(a^{m \cdot n}\right) \\ \log _{a}\left(\left(a^{m}\right)^{n}\right)=m \cdot n \end{array} \)
Benutze \( a^{m}=z \quad \) bzw. \( \quad m=\log _{a}(z) \)
\( \begin{array}{l} \log _{a}\left(z^{n}\right)=\log _{a}(z) \cdot n \\ \log _{a}\left(z^{n}\right)=n \cdot \log _{a}(z) \end{array} \)

Comments

Hier mit der e Funktion

\( a^{m}=a^{m} \)
\( e^{\ln \left(a^{m}\right)}=\left(e^{\ln (a)}\right)^{m} \)
\( e^{\ln \left(a^{m}\right)}=e^{\ln (a) \cdot m} \)
\( \ln \left(a^{m}\right)=m \cdot \ln (a) \)

Answer 2

Hallo

ich weiss nicht was dir an dem Beweis fehlt vielleicht e^ylnx=(e^lnx)^y=x^y und natürlich gilt die Gleichung von rechts nach links und umgekehrt .

Gruß lul

Comments

Ah dann war mein Gedanke da doch richtig. Ich hatte es dann nur nicht richtig zu ende gedacht. Danke!

Answer 3

Hier meine Überlegungen

Comments

Das Moma sucht Dich schon wieder :)

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Hallo

grade noch lesbar, aber einsehen kann ich den beweis nicht, du benutzt ja einfach in der vorletzten Zeile ln(x^y)=y*ln(x) ich dachte, das soll gezeigt werden?

die paar Zeilen einzutippen ist eine Überforderung für dich?

lula

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Hallo abs ( u ),

Die Formeln enthalten sowieviei
Hochstellungen die ich im Forumseditor
nicht darstellen kann. Deshalb die handschriftliche Variante gewählt.

Gezeigt werden sollte

ln (  x hoch y ) = y * ln ( x )

Dazu habe ich zunächst ein einfaches
Beispiel genommen

a = e hoch ( ln a )
( Stimmt hoffentlich noch )

Erweiterung des Beispiels mit
a = ln ( x hoch y )
ergibt
ln ( x hoch y ) = e hoch ( ln [ ln ( x hoch y ) ] )
ln ( x hoch y ) = e hoch ( ln [ y * ln ( x ) ] )
e hoch ( ln ) heben sich auf
ln ( x hoch y ) = y * ln ( x )

Damit dürfte die Ausgangsfrage
nachgewiesen worden sein.

Oder ?

Von Beileidsbezeugungen an meinen
Grab bitte ich Abstand zu nehmen.

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ln ( x hoch y ) = e hoch ( ln [ ln ( x hoch y ) ] )
ln ( x hoch y ) = e hoch ( ln [ y * ln ( x ) ] )

hier benutzt du doch die Behauptung oder nicht?

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Jo, stimmt. Ich nehme alles wieder zurück.