Da kann ich doch aber nichts ablesen, oder?

Question

Aufgabe:

Hauptachsentransformation,Quadrik bestimmen.

Quadrik ist: x1² + 4x1x2 + 4x2² + 2x1 -x2 -5 = 0

A ist also \( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \) und D nach ausrechnen der EW und EV:

D = \( \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \)

S = \( \frac{1}{sqrt(5)} \) \( \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \).

Bis hierhin ist alles richtig. Unser Prof hat uns nun im Tutorium folgendes Beispiel gegeben, um mittels der Hauptachsentransformation die Quadrik zu bestimmen, also ob Hyperbel, Ellipse usw.:

... Nach Umformungen... : < D \( \begin{pmatrix} x1'\\x2' \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} x1'\\x2' \end{pmatrix} \)>

Bei seinem Beispiel ist D = \( \begin{pmatrix} 5/2 & 0 \\ 0 & -5/2 \end{pmatrix} \), also erhält er 5/2(x1')^2 - 5/2(x2')^2 und kann daran ablesen, dass es eine Hyperbel ist.

Bei meiner Matrix D mit nur einem Element ungleich 0, erhalte ich dann 5x2'x1'. Da kann ich doch aber nichts ablesen, oder? Gibt es nicht immer ein Schema F, dem ich folgen kann, um die Quadrik zu bestimmen? Denn speziell bei dieser Aufgabe lst der Prof es ab hier anders, indem er mit den erweiterten Matritzen arbeitet, also 3x3. Das verwirrt ich. Wann geht was?

Zu der Quadrik aus dem Tutorium, die lautete: -2x^2 + 3xy + 2y^2 -4 = 0.

Ging das hier so einfach bzw. schnell, weil es keine linearen Terme, außer die -4 als Konstante gab?

Answer 1

Siehe https://www.geogebra.org/m/jybmgrce

===> Zuordnung des Kegelschnitt zu den Kegelschnitttypen:

  Ellipse, Punkt oder leere Menge bei gleichem Vorzeichen der Eigenwerte (|A| > 0)
  Hyperbel oder Geradenpaar bei verschiedenem Vorzeichen der Eigenwerte ( |A| < 0)
  Parabel, Parallelenpaar, Gerade oder leere Menge, falls 0 ein Eigenwert ist (|A| = 0).

q_A = x² + 4x y + 4y² + 2x - y = 5

mit Deiner Drehmatrix (nur Drehung - beseitigt den gemischten Term x y -, keine Verschiebung)

ist eine Parabel und die Rechung Deines Prof ist falsch oder q_A ist falsch wiedergegeben.

In homogenen Koordinaten, erweiterte Matrix

https://www.geogebra.org/m/avznhsff

Comments

Hallo,

vielen Dank für deine Antwort. Ich glaube, du hast meine Frage bzw. meinen Beitrag nicht vollständig gelesen, oder nicht verstanden, was ich meine? Dass es eine Parabel ist, hat der Prof auch. Aber schau mal, ich schrieb ja auch noch eine zweite Quadrik.

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Ach so, das sind 2 verschiedene Aufgaben...

Ich glaube, du hast meinen Beitrag nicht vollständig gelesen, oder nicht verstanden - da ist die Typisierung von R² Quadriken über Eigenwerte/Determinante beschrieben und wie man mit der erweiterten Matrix arbeitet...