5 Werte der Polynomdivision bei Zählergrad kleiner Nennergrad

Question

Aufgabe:

In einer Aufgabe soll die Polynomdivision bis auf 5 Werte berechnet werden, wobei der Zählergrad jedoch kleiner als der Nennergrad ist. Die Aufgabe lautet wie folgt

$$H(z) = 216\cdot {z^{-1}\over {1\over 6}z^{-2} - {5\over 6}z^{-1} + 1}$$

Problem/Ansatz:

Ich komme da auf folgende Werte

$$(0z^{-2} + z^{-1} + 0z^{0}):({1\over 6}z^{-2} - {5\over 6}z^{-1} + 1) = 0 + 6z -36z^3  + 216z^5 - 1296z^7$$

Ich weiss jetzt nicht, wie ich meine handschriftliche Rechnung aus One Note ohne es mühsam in LaTex zu programmieren, hochladen soll.

Bei der Aufgabe geht es ferner, um die in den diskreten Zeitbereich Transformierte Impulsantwortfunktion. Da es mir aber nur um die Polynomdivision als um die Rücktransformation geht, ist es ein mathematisches Problem, das ich noch nicht verstehe.

Comments

Der Zähler ist oben, der Nenner unten.

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bis auf 5 Werte berechnet werden,

Was soll denn das bedeuten ???

Was für 5 Werte denn ?

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Die Aufgabe sagt, dass die Polynomdivision ein Ergebnis haben muss, welches aus 5 Werten besteht. MontyPython hat es bereits verstanden.

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welches aus 5 Werten besteht. MontyPython hat es bereits verstanden.

Das sind keine 5 Werte, sondern 5 Terme.

Abgesehen davon, dass man hier nur unter extremer

Begriffsvernebelung von Polynomdivision reden kann.

Aber daran bist nicht du, liebe(r) Fragestleller(in)

schuld, sondern vermutlich der Originalaufgabensteller.

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Das ist mir durchaus bewusst aber s. happens.

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Das ist wohl wahr ;-)

Answer 1

Vielleicht hilft ja

\(H(z) = 216\cdot {z^{-1}\over {1\over 6}z^{-2} - {5\over 6}z^{-1} + 1}\)

\(H(z) = 216\cdot \dfrac{6z}{1 -5z+ 6z^2}\)

\( H(z)=\dfrac{1296 z}{(2 z-1)(3 z-1)} \)

1296z:(1-5z+6z²)=216/z +180/z²+114/z³+65/z^4+...

Comments

Weiss gerade nicht, inwiefern mir das bei der Polynomdivision helfen soll. Du hast es ja nur in eine andere Darstellung umgeformt, was ja glaube ich nicht notwendig ist. Somit wäre es ja nur mehr Schreibarbeit. Man soll die Polynomdivision bis auf 5 Stellen berechnen. Also das Ergebnis der Polynomdivision soll hier 5 Werte haben.

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Ich habe meine Antwort ergänzt.

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Dann ist der letzte Wert $$35.1\overline{6}z^{-5}$$

Glaube zu wissen wo mein Fehler war. Undzwar beim Sortieren nach fallenden Potenzen. Ich habe bei einer Konstanten Zahl ohne ein z, das ganz nach hinten sortiert obwohl das ja mit z^0 ja größer ist als z^-1. Demnach hätte ich z^0 an die erste Stelle platzieren müssen, bei der schriftlichen Division.

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Ja genau. Darf man aber ruhig als Bruch stehenlassen

216·z^(-1)/(1/6·z^(-2) - 5/6·z^(-1) + 1) = 216/z + 180/z^2 + 114/z^3 + 65/z^4 + 211/(6·z^5) + 665/(36·z^6) + 2059/(216·z^7) + ...

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Für die Aufgabe, die an der Stelle ja noch nicht zu Ende ist, ist es besser, dass auszuschreiben und den exponenten aus dem Nenner in den Zähler zu bringen. Für die inverse z-Transformation ergeben sich dadurch Dirac-Impulse die um den negativen exponenten von z verschoben sind.

Für die Polynomdivision allein, ist das vollkommen ausreichend.

Answer 2

Einen etwas anderen Eindruck wirst du bekommen, wenn du mit \(z^2\) erweiterst.

Comments

Ist aber im Grunde genommen das selbe, nur das du den Bruch mit 1 erweitert hast sprich mit $${z^2\over z^2}$$

Ich komme hier auf $$z : (z^2 - {5\over z} + {1\over 6})$$

Vielleicht zu meinem Kenntnisstand bei der Polynomdivision. Ich weiss bisher, wie man die Polynomdivision anwendet, wenn der Grad des Zählers größer ist als der Nennergrad aber hier ist es ja gerade andersherum und ja ich weiss auch das die Polynomdivision so ähnlich wie die Division mit rationalen Zahlen ist, nur bei Polynomfunktionen tue ich mich derzeit schwer, wenn der Zähler kleiner als der Nennergrad ist.

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$$H(z) = 216\cdot {z^{-1}\over {1\over 6}z^{-2} - {5\over 6}z^{-1} + 1}= 216 \cdot\dfrac{6z}{6z^2-5z+1}$$ So, ich habe nun den Bruchterm mit \(6z\) erweitert und die Monome im Nenner nach absteigenden Potenzen sortiert.

Answer 3

Als Probe für dein Ergebnis müsstest du

\(({1\over 6}z^{-2} - {5\over 6}z^{-1} + 1) \cdot (0 + 6z -36z^3  + 216z^5 - 1296z^7)\) rechnen und dabei

\((0z^{-2} + z^{-1} + 0z^{0})\) erhalten (was mitnichten der Fall ist).

Du solltest vor allem den Bruch mit 6z² erweitern.

Comments

Man soll ja auch nur bis auf 5 Werte die Polynomdivision durchführen. Mehr war ja von vornherein nicht verlangt. Daher ist es zumindest in dieser Aufgabe plausibel, dass man hier nicht auf den besagten Zähler kommt, wenn man das Ergebnis mit dem Nenner multipliziert.