Funktion untersuchen auf Stetigkeit

Question

Untersuchen der Funktion f(x)= (x^3·e^x, x≥0  (0, x<0   auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Für die Differenzierbarkeit der Funktion habe ich f'(x)= e^x(3x^2+x^3) und f'(x)= 0 heraus.

Wie kann ich aber nun die Stetigkeit anhand des rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwert ermitteln, s.d. auf beiden Seiten der gleiche Wert herauskommt? Für den linksseitigen Grenzwert erhalte ich für die zweite Funktion f(x)=0 den Wert 0. Doch bei der Berechnung des rechtsseitigen Grenzwerts für die Funktion f(x)= e^x·x^3 erhalte ich nicht 0.

Answer 1

Die Funktion \(g(x) = x^3\mathrm{e}^x\) ist bei \(0\) stetig.

Die Funktion \(h(x) = 0\) ist bei \(0\) stetig.

Die Funktion \(f\) ist genau dann bei \(0\) stetig, wenn \(g(0) = h(0)\) ist. Aus der Stetigkeit von \(g\) und \(h\) bei \(0\) folgt nämlich, dass die dortigen Funktionswerte gleich den entsprechenden Grenzwerten sind.

Du musst erst dann explizit auf Grenzwerte zurückgreifen, wenn eine der Funktionen bei \(0\) nicht definiert ist oder dort nicht stetig ist.

Für die Differenzierbarkeit der Funktion habe ich f'(x)= e^x(3x²+x³) und f'(x)= 0 heraus.

Gesucht ist eigentlich eher eine Antwort auf die Frage, ob \(f\) differenzierbar ist. Die Wird entsprechend der Frage nach der Stetigkeit beantwortet.