Wie führt man die Ansatzmethode durch?

Question

Aufgabe:

Lösen Sie das Anfangswertproblem

\( y^{\prime} \) + 2y = f(x), y(0) = 1

mithilfe der Ansatzmethode für f(x) = (4x+1)e^2x

Problem/Ansatz:

Wie führt man die Ansatzmethode durch?

Answer 1

Hallo,

y'  + 2y = (4x+1)e^(2x), y(0) = 1

---->y'  + 2y =0

--->Charakt. Gleichung: k +2=0 , k= -2

yh= C1 e^(-2x)

yp=(Ax+b)e^(2x)

yp' = (2Ax+A+2b)e^(2x)

------>yp und yp' in die DGL eingesetzt:

(2Ax+A+2b)e^(2x) +2(Ax+b)e^(2x) =(4x+1)e^(2x) |:e^(2x)≠0

2Ax+A+2b +2Ax+2b =4x+1

4Ax+A+4b  =4x+1

-------->Koeffizientenvergleich:

x^1: 4A =4 --->A=1

x^0: A+4b=1 ---->b=0

----->

yp=(Ax+b)e^(2x)

yp=x e^(2x)

------------>

Lösung: y=yh+yp =C1 e^(-2x) +x e^(2x)

AWB einsetzen: y(0) = 1

y=C₁ e^(-2x) +x e^(2x)

1=C₁ e^(-2*0) +0 e^(2*0)

C₁=1

------>

Lösung mit AWB:

y= e^(-2x) +x e^(2x)