Hallo,
y' + 2y = (4x+1)e^(2x), y(0) = 1
---->y' + 2y =0
--->Charakt. Gleichung: k +2=0 , k= -2
yh= C1 e^(-2x)
yp=(Ax+b)e^(2x)
yp' = (2Ax+A+2b)e^(2x)
------>yp und yp' in die DGL eingesetzt:
(2Ax+A+2b)e^(2x) +2(Ax+b)e^(2x) =(4x+1)e^(2x) |:e^(2x)≠0
2Ax+A+2b +2Ax+2b =4x+1
4Ax+A+4b =4x+1
-------->Koeffizientenvergleich:
x^1: 4A =4 --->A=1
x^0: A+4b=1 ---->b=0
----->
yp=(Ax+b)e^(2x)
yp=x e^(2x)
------------>
Lösung: y=yh+yp =C1 e^(-2x) +x e^(2x)
AWB einsetzen: y(0) = 1
y=C1 e^(-2x) +x e^(2x)
1=C1 e^(-2*0) +0 e^(2*0)
C1=1
------>
Lösung mit AWB:
y= e^(-2x) +x e^(2x)